对任意X属于R,不等式【(x^2+1)cosθ -x(cosθ -5)+3】/(x^2-x+1)>sinθ -1恒成立,求θ 的取值范围。

wjl371116
2011-08-18 · 知道合伙人教育行家
wjl371116
知道合伙人教育行家
采纳数:15457 获赞数:67426

向TA提问 私信TA
展开全部
对任意X属于R,不等式[(x²+1)cosθ -x(cosθ -5)+3]/(x²-x+1)>sinθ -1恒成立,求θ 的取值范围。
解:由于x²-x+1=(x-1/2)²-1/4+1=(x-1/2)²+3/4≧3/4>0,故可去分母得同解不等式:
(x²+1)cosθ-x(cosθ-5)+3>(sinθ-1)(x²-x+1)
x²cosθ+cosθ-xcosθ+5x+3>x²sinθ-x²-xsinθ+x+sinθ-1
(sinθ-cosθ)x²-(sinθ-cosθ)x+(sinθ-cosθ)<x²+4x+4
(sinθ-cosθ)(x²-x+1)<x²+4x+4
sinθ-cosθ<(x²+4x+4)/(x²-x+1)=1+(5x+3)/(x²-x+1)
(√2)sin(θ-π/4)<1+(5x+3)/(x²-x+1)................(1)
令u=(5x+3)/(x²-x+1),ux²-ux+u=5x+3,ux²-(u+5)x+u-3=0,
∵x∈R,∴其判别式Δ=(u+5)²-4u(u-3)=-3u²+22u+25≧0,即有3u²-22u-25=(3u-25)(u+1)≦0
故-1≦u≦25/3,0≦1+u≦28/3,即0≦1+(5x+3)/(x²-x+1)≦28/3
故要使不等式(1)对任何x恒成立,必须(√2)sin(θ-π/4)<0,即sin(θ-π/4)<0,
故有-π+2kπ<θ-π/4<2kπ,(k∈Z),于是得-3π/4+2kπ<θ<π/4+2kπ,(k∈Z).
huangym1029
2011-08-18 · 超过10用户采纳过TA的回答
知道答主
回答量:21
采纳率:0%
帮助的人:21.8万
展开全部
这题难倒不难,不过够复杂的
不等式左边分母恒大于0,乘到右边去,然后把右边移项到左边合并同类项,
可得(cosθ-sinθ+1)x^2-(cosθ-sinθ-4)x+cosθ-sinθ+4>0
设cosθ-sinθ=t,即为(t+1)x^2-(t-4)x+t+4>0
要保证不等式左边恒大于0,两个条件:1、抛物线开口向上 2、抛物线与x轴无交点
可得t+1>0且△=(t-4)^2-4(t+1)(t+4)= -3t^2-28t<0,两式联立求得t>0
所以,t>0即cosθ-sinθ>0即为所求
θ取值范围 2kπ-3/4π<θ<2kπ+1/4π (k∈Z)
天哪!这点东西半小时才打完!毕业好多年了,做的不一定对,仅供参考!
已赞过 已踩过<
你对这个回答的评价是?
评论 收起
推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式