Question

求一道数学题！！！！急死！火急！

求证：关于X的方程 ax的平方+2x+1=0 至少有一个负根的充要条件是a≤1 牛人们帮忙！

Answer 1

充要条件要两边都证明
命题1：ax²+2x+1=0至少有一个负根，那么a≤1
这个证明要反证，假设ax²+2x+1=0有两个正根或者只有一个正根
有两个正根的时候
得到x1+x2>0 x1x2>0
即-2/a>0 1/a>0 这两个不等式显然矛盾，
只有一个正根情况有两种，
情况1：Δ=0 得到a=1 方程就是x²+2x+1=0 解得x=-1也矛盾
情况2：a=0，方程是2x+1=0 x=-1/2 还是矛盾
所以假设不成立，原命题成立，命题1证毕

命题2：a≤1那么ax²+2x+1=0至少有一个负根
a≤1的时候还是分情况
a=1的时候，方程只有一个负数根是-1/2上面已经说明
a=0的时候，方程只有一个负数根是-1上面也已经说明
当a<1且不等于0的时候
首先Δ=4-4a>0 所以方程有两个实数根
情况1：0<a<1的时候 x1+x2=-2/a<0 x1x2=1/a>0
所以x1<0 x2<0 方程是两个负数根，符合题意
情况2：a<0的时候 x1x2=1/a<0
x1和x2异号 所以必定有一个负根，也符合题意
命题2证毕

追问

我想问一下 那个 -2/a>0 1/a>0 是怎么得到了！我忘记公式了 拜托

追答

第一题我证明错了，我混淆了
假设不成立，后面应该是
得出结论是只要ax²+2x+1=0存在实数根，那么至少有一个是负数根
而ax²+2x+1=0存在实数根是条件是Δ ≥0
然后Δ =4-4a≥0 a≤1 这才把命题1证明完毕

你说的那个用的韦达定理
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a

追问

谢谢拉！ 很感谢 ！

追答

你等下啊，第一个证明不需要反证 ，我来回嵌套了，第一题得到的结论直接就可以证明第二个命题了
命题1：ax²+2x+1=0至少有一个负根，那么a≤1
这个命题按常规的证明方法是
ax²+2x+1=0至少有一个负根分三种情况
情况1：只有一个负数根
这种情况只有a=0 或者Δ=0
a=0的时候，根是-1/2
Δ=0的时候 a=1 根是-1 都符合题意
情况2：一个正数根，一个负数根
首先Δ>0 解出来a0 解出来a0
退出-2/a0 推出a>0
所以1>a>0
综合起来 结论就是a=0或者a=1或者aa>0
也就是a≤1

Answer 2

1.将一元二次方程化为关于x的二次函数,通过二次函数的图像与X轴的交点.函数Y=ax^2+2x+1始终过(0,1)点,当a>0时,对称轴为x=-a,则由根的判别式b^2-4ac=4-4a^2>=o得,0<a≤1;当a<0时,因为函数过(0,1)点,所以函数与x轴负半轴定有一个交点.当a=0时,x=-1/2;综上函数与X轴的交点即是方程的根.所以关于X的方程 ax的平方+2x+1=0 至少有一个负根的充要条件是a≤1 .
2.也可以用求根公式求出x=-2+-根号下4-4a/2a=-1+-√1-a/a,判断根的符号.来求a,a≤1

Answer 3

首先有根的条件是△>=0,即a≤1.
当a<0时，1/a<0,即两根之积小于0所以必有一根为负。
当 0<a≤1 时，-2/a<0,1/a>0,即两根之积大于零，两根之和小于零，所以必是两复根。
当a=0时，X=-1/2,
综上所述，X的方程 ax的平方+2x+1=0 至少有一个负根的充要条件是a≤1

Answer 4

用求根公式吧。自己试试看。

追问

饿 我不会啊！帮忙吧 我分类讨论了 还是出不来 给个过程吧

Answer 5

分离变量啊，把a分离出来。

Answer 6

用韦达定理啊！！这么简单！！

追问

饿 我不会啊！帮忙吧 我分类讨论了 还是出不来 谢谢谢谢

追答

韦达定理知道吗？读几年级啊？等等.......

追问

知道是知道 但是 还是求个过程 不然还是自己做不太懂啊！谢谢啊 我追加10分