Question

已知关于x的函数g(x）=2/x+a㏑x,a是实数，f(x)=x²+g(x)

试讨论函数g(x)的单调区间；若a>0,试证f(x)在区间（0，1）内有极值

Answer 1

1. g'(x)=a/x-2/x²=(ax-2)/x²
设g'(x)=0 解得x=2/a
(1) x<2/a时 g'(x)<0 函数单减
(2) x≥2/a时 g'(x)≥0 函数单增
2. 若a>0
f'(x)=2x+(ax-2)/x²=(2x³+ax-2)/x²
设f'(x)=0 则2x³+ax-2=0
设T(x)=2x³+ax-2
因T(0)=-2<0 T(1)=a>0
所以函数T(x)在(0,1)之间必有一个零点x0
即T(x0)=0
根据定义这个点即为极值点
得证。
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O

追问

谢谢您的回答 不过您第一步没分情况 我只能把分给另一个回的人啦 对不起啊 不过还是谢谢您

Answer 2

由题，定义域：x＞0（应用集合表示，此处从简）
求导：g’（x）=-2/x²+a/x
分类讨论：①当a≤0，则g’（x）＜0，g(x)递减
②当a＞0，令g’（x）=-2/x²+a/x=（ax-2）/x²=0
得到x=2/a
所以：当a≥2/a时，g’（x）≥0，g(x)递增
当a＜2/a时，g’（x）≤0，g(x)递减
综上所述：。。。。。。。

对f(x)求导：f‘（x）=2x+g’（x），即证明f‘（x）=0在区间（0，1）内有有解，
因为x＞0，可将等式两边同乘以x²,得到F（x）=x²f‘（x）=2x³+ax-2
即证明，F（x）=0在区间（0，1）内有有解，F（0）=-2＜0，F（1）=a＞0，
所以得证

追问

第一问你可以再写详细点吗 当a≤0，则g’（x）＜0，g(x)递减
它的递减区间是啥 递增区间又是啥 麻烦你了 谢谢啦