Question

【数学高手进】请问一下，不等式方程组应该怎么解？？【求助】

假设a,b,c,d都是已知的1*K的向量。E是一个m*K的矩阵（m<K）. 其中，未知向量x的取值只能是E中行向量的线性组合。
现在已知ax≠0,bx≠0,cx≠0,dx≠0都可以分别单独成立，这里的乘法是指的内积。
现在我的问题是：
1）是否一定存在一个x可以使上面四个不等式方程组同时成立？（x的取值只能是E中行向量的线性组合）
2）如果一定存在，请证明，并说出应该如何找。如果一定不存在，或者不一定存在，请举出反例或者证明。

谢谢
补充一下，这个是在有限域当中。不是实数域。

Answer 1

理论上讲这样的解显然是存在的。
记V是E的行张成的线性空间，V1={x属于V|<a,x>=0}，V2={x属于V|<b,x>=0}，V3={x属于V|<c,x>=0}，V4={x属于V|<d,x>=0}，
那么V1,V2,V3,V4都是V的真子空间，所以它们的并不能覆盖V，即V中必定存在向量x不属于任何Vi。

具体构造性的方法可以一步一步来。
先从V的基当中取x1,x2,x3,x4（可以相同）使得<a,x1>≠0，<b,x2>≠0，<c,x3>≠0，<d,x4>≠0。
在x1,x1+x2,x1+2x2中至少有一个(记为y)满足<a,y>≠0和<b,y>≠0同时成立，也可以直接根据<a,x1>,<a,x2>,<b,x1>,<b,x2>的值来构造k使得y=x1+kx2满足条件。
再对y和x3进行线性组合，y,y+x3,y+2x3,y+3x3,y+4x3中可以找出一个z来使得z和a,b,c都不正交。继续将z和x4做线性组合就可以找到满足条件的x了。

追问

非常感谢你的回复。
我一直有一点疑问就是"再对y和x3进行线性组合”这里 怎么保证“y,y+x3,y+2x3,y+3x3,y+4x3中可以找出一个z来使得z和a,b,c都不正交" 一定可以找到使其成立的？
能不能理论证明一下？

追答

这个可以用反证法。
考察
, , ,
, , ,
, , ,
每行最多只出现一次零，所以有4列就足以保证有完全非零的列了，我当时写得比较随手，还放宽了一些。

Answer 2

不一定存在:
例:
取: K=2, m=1
令: a,b,c,d分别是(1,0),(2,0),(3,0),(4,0)
取E:= (0,1)
则 总有ax=0,bx=0,cx=0,dx=0

追问

谢谢回答。
但是我的前提是“已知ax≠0,bx≠0,cx≠0,dx≠0都可以分别单独成立”，你的反例不满足这个条件吧。

追答

OK, 我原来不知道你那句话什么意思,你无非是说a,b,c,d线性无关而已. 这不是问题的重点,你把我例子改成:
取: K=5, m=1
令: a,b,c,d分别是(1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0)
取E:= (0,0,0,0,1)
则 总有ax=0,bx=0,cx=0,dx=0 就是你要的例子了.
取什么域也不是关键, 所以我上面的例子,你当是特征为2的基本域就是了.

Answer 3

不行啊 矩阵是我最恨的东西

追问

哈哈 我也恨啊

Answer 4

大哥这几年级的