Question

已知三角形ABC的三个顶点都在圆O上，AB＝AC，D是BC上一点，E是直线AD与圆的交点，如图1所示

（1）试说明AB＾2＝ADxAE
（2）当D为BC延长线上一点时，如图2，第（1）题的结论还成立吗？说明理由。

Answer 1

1)联结BE
∠ABD=∠C(AB=AC)
=∠AEB(都是弧AB所对的圆周角)
∠BAD=∠EAB
所以△ABD相似于△AEB
AB/AE=AD/AB，即AB^2＝AD*AE
2)成立
联结BE，CE
∠ABD=180°-∠AEC(圆内接四边形对角互补)=∠CED
∠D=∠D
所以△ABD相似于△CED
AB/CE=AD/CD，即AB/AD=CE/CD
∠ECD=∠EAB(△ABD相似于△CEB)
∠DEC=∠ABC(已证)
=∠ACB(AB=AC)
=∠AEB(都是弧AB所对的圆周角)
所以△ABE相似于△CDE
AB/CD=AE/CE，即AE/AB=CE/CD
所以AB/AD=CE/CD=AE/AB，即AB^2＝AD*AE