Question

已知函数f（x)=x^3-3ax^2+3bx,其中b>0

(1)若函数f（x）在区间（0，正无穷）上是增函数，求证：a<=根号b
（2）若函数f（x)在点（1，f（1））处的切线方程是y=4x-1，试求a，b的值

Answer 1

1)f'(x)=3x^2-6ax+3b=3(x^2-2ax+b)=2[(x-a)^2+b-a^2]
a<=0时，因为b>0, 当x>0,f'(x)>=b>0
a>0时，当x>0时， f'(x)的最小值为f(a)=b-a^2>=0---> a<=√b
因此综合得：a<=√b
2).f(1)=1-3a+3b
f'(1)=3-6a+3b
切线为：y-f(1)=f'(1)(x-1)
y=(3-6a+3b)x-2+3a
对比系数得：3-6a+3b=4, -2+3a=-1
解得：a=1/3, b=1