Question

线性方程AX=B有唯一解，则相应的齐次方程组AX=0，（ ） A.无解 B.有非零解

线性方程AX=B有唯一解，则相应的齐次方程组AX=0，（ ）
A.无解
B.有非零解
C.只有零解
D.解不能确定

Answer 1

解不能确定。

解题过程如下：

设AX=0是n元线性方程组；

由AX=0只有零解，知r（A）=n，但不能保证r（A）=r（A，b），因此AX=b也不一定有解；

由AX=0有非零解，知r（A）＜n，但不能保证r（A）=r（A，b），因此AX=b也不一定有解，也就不一定由无穷多解；

由AX=b有无穷多解，知r（A）=r（A，b）＜n，此时AX=0有非零解。

线性方程性质：

线性方程也称为一次方程，因为在笛卡尔坐标系上任何一个一次方程的表示都是一条直线。组成一次方程的每个项必须是常数或者是一个常数和一个变量的乘积。且方程中必须包含一个变量，因为如果没有变量只有常数的式子是算数式而非方程式。

如果一个一次方程中只包含一个变量（x），那么该方程就是一元一次方程。如果包含两个变量（x和y），那么就是一个二元一次方程，以此类推。

Answer 2

因为AX=b有唯一解，所以r（A）=n，

等价于AX=0只有零解

Answer 3

我刚学的，看没人回答，蛮自己答一下。
AX=B有唯一解
R(A，β)=r=R(A)
R(A)=r X仅有零解
都是书上的结论...

Answer 4

因为AX=B有唯一解，所以行列式A不等于0
所以r（A）=n，AX=0只有零解

Answer 5

设AX=0是n元线性方程组 ①选项A．由AX=0只有零解，知r（A）=n，但不能保证r（A）=r（A，b），因此AX=b也不一定有解，故A错误； ②选项B．由AX=0有非零解，知r（A）＜n，但不能保证r（A）=r（A，b），因此AX=b也不一定有解，当然也就不一定由无穷多解，故B错误； ③选项C和D．由AX=b有无穷多解，知r（A）=r（A，b）＜n，此时AX=0有非零解，故C错误，D正确；故选：D．