Question

一道线性代数题

为什么可对角矩阵(PAP^-1)^n=PA^{n}P^-1

Answer 1

令√x＝u，得：x＝u^2，∴dx＝2udu。
∴原式＝∫［u^2/（1－u）］（2u）du＝－2∫u^3/（u－1）d（u－1）。
再令u－1＝v，得：u＝v＋1，∴u^3＝（v＋1）^3＝v^3＋3v^2＋3v＋1。
∴原式＝－2∫［（v^3＋3v^2＋3v＋1）/v］dv＝－2∫v^2dv－6∫vdv－6∫dv－2∫（1/v）dv
＝－（2/3）v^3－3v^2－6v－2ln｜v｜＋C
＝－（2/3）（u－1）^3－3（u－1）^2－6（u－1）－2ln｜u－1｜＋C
＝－（2/3）（u^3－3u^2＋3u－1）－3（u^2－2u＋1）－6u＋6－2ln｜u－1｜＋C
＝－（2/3）u^3＋2u^2－2u＋2/3－3u^2＋6u－3－6u－2ln｜u－1｜＋C
＝－（2/3）u^3－u^2－2u－2ln｜u－1｜＋C
＝－（2/3）x√x－x－2√x－2ln｜√x－1｜＋C