Question

设a，b，c∈正实数且a+b=c‘求证：a2／3+b2／3＞c2／3

Answer 1

证明：欲证a^2/3+b^2/3>c^2/3
两边立方，即证a^2+3a^(4/3)b^(2/3)+3a^(2/3)b^(4/3)+b^2＞c^2
只需证（a+b)^2-2ab+3a^(4/3)b^(2/3)
+3a^(2/3)b^(4/3)+b^2＞c^2
∵a+b=c,∴(a+b)^2=c^2
只需证
3a^(2/3)b^(2/3)[a^(2/3)+b^(2/3)]＞2ab
只需证a^(2/3)+b^(2/3)＞2/3*a^(1/3)b^(1/3)
∵a^(2/3)+b^(2/3)≥2a^(1/3)b^(1/3),（利用基本不等式）
∴a^(2/3)+b^(2/3)＞2/3*a^(1/3)b^(1/3)成立,原不等式得证.

Answer 2

a^(2／3)+b^(2／3)＞c^(2／3)
左右立方得到:a^2+3a^(4/3)b^(2/3)+3a^(2/3)b^(4/3)+b^2>c^2
化简得到：a^2+3ab((a/b)^(1/3)+(b/a)^(1/3))+b^2>c^2
由于a^2+3ab((a/b)^(1/3)+(b/a)^(1/3))+b^2>=a^2+6ab+b^2>a^2+2ab+b^2=（a+b）^2=c^2
所以倒推回去就得到a^(2／3)+b^(2／3)＞c^(2／3)