在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,且2sin^2[(A+B)/2]+cos2C=1

若a^2=b^2+1/2c^2,试求sin(A-B)的值我看之前有人答的感觉有问题。... 若a^2=b^2+1/2c^2,试求sin(A-B)的值
我看之前有人答的感觉有问题。
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飘渺的绿梦
2011-08-21 · TA获得超过3.5万个赞
知道大有可为答主
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∵2{sin[(A+B)/2]}^2+cos2C=1, ∴2[cos(C/2)]^2+2(cosC)^2-1=1,
∴1+cosC+2(cosC)^2-1=1, ∴2(cosC)^2+cosC-1=0,
∴(2cosC-1)(cosC+1)=0。
显然,在△ABC中,cosC>-1, ∴cosC+1>0, ∴只有cosC=1/2, ∴sinC=√3/2。

又a^2=b^2+(1/2)c^2,结合正弦定理,容易得到:
(sinA)^2=(sinB)^2+(1/2)(sinC)^2=(sinB)^2+(1/2)(√3/2)^2,
∴-2(sinA)^2=-2(sinB)^2-3/4, ∴1-2(sinA)^2=1-2(sinB)^2-3/4,
∴cos2A=cos2B-3/4, ∴cos2A-cos2B=-3/4,
∴2sin(A+B)sin(B-A)=-3/4, ∴sinCsin(A-B)=3/8,
∴(√3/2)sin(A-B)=3/8, ∴sin(A-B)=√3/4。
追问
为什么有这样一步:∵2{sin[(A+B)/2]}^2+cos2C=1, ∴2[cos(C/2)]^2+2(cosC)^2-1=1
我只能推得1-2{sin[(A+B)/2]}^2=cos(A+B)= -cosC
麻烦详解一下。
追答
∵A+B+C=180°,∴A+B=180°-C,∴(A+B)/2=90°-C/2,
∴sin[(A+B)/2]=sin(90°-C/2)=cos(C/2)。
又cos2C=2(cosC)^2-1。
∴由2{sin[(A+B)/2]}^2+cos2C=1,得:
2[cos(C/2)]^2+2(cosC)^2-1=1。
青春由我作主
2011-08-22
知道答主
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先化简2sin^2[(A+B)/2]=2sin^2(90-C)=2COS^2C
cos2C=2COS^2C-1
因为2sin^2[(A+B)/2]+cos2C=1所以2COS^2C+2COS^2C-1=1所以COS^2C=1
因为a^2=b^2+1/2c^2由余弦定理得b^2+1/2c^2=b^2+c^2-2bcCOSA所以c=4bCOSA
由正弦定理c/sinC=b/sinB所以c/b=sinB/sinC=4COSA
sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB因为COS^2C=1所以C=90
所以A,B互余可有sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=0
追问
2COS^2C+2COS^2C-1=1所以COS^2C=1
这不是显然有问题吗?
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