Question

高中数学问题,请教

设函数f(x)=|x-a|-ax,其中a>0,为常数.
(1).解不等式f(x)<0
(2).试探究求函数f(x)存在最小值的充要条件,并求出相应的最小值.

Answer 1

第一题：
f(x)<0
即 |x-a|<ax
因a>0 ,则需x>0
有 -ax<x-a<ax
即
(1+a)x>a
(1-a)x<a
·若a=1时，解不等式组，
得原不等式解集为 {x|x>1/2}
·若 0<a<1时，解不等式组，
得原不等式解集为 {x|a/(1+a)<x<a/(1-a)}
·若a>1时，闷陪解不等式组，
得原不等式解集为 {x| x>a/(1+a)}
注：亦可数形拿腔结合求解。

第二题：
此题最好数形结合来解。
f(x)=|x-a|-ax可以看作是函数 g1(x)=|x-a| 与函数 g2(x)=ax的差，
容易画出g1(x)=|x-a|是顶点为(a,0)的“V”型折线。
而 g2(x)=ax是过原点 斜率为a的直线。
分情况讨论。
·0<a<1时
g2(x)=ax与g1(x)=|x-a|有两交点。
易知 x=a时函数取得最小值为 -a^2
·a=1时
g2(x)=ax与g1(x)=|x-a|只有左半支的一个交点。
易知，x>=1时 函数取得最小值为 -1
·a>1时
从图形上看，当x趋近无穷大时，f(x)趋近无穷小。
亦即 x>a 时 f(x) = -a-(a-1)x 此时无法取得最小值。
综上，
f(x)存在最小值的充要条件是 0<a<=1
此消罩衫时 最小值为 -a^2 。