Question

求这几道高数题的解题过程，谢谢

第二张是答案





Answer 1

这几个题目主要运用多项式分式的极限特点以及重要极限sinx/x进行解题
1、多项式分式的极限特点：
A=lim f(x)/g(x)，(x->∞) 其中f(x)，g(x)是x的多项式
若f(x)的次数比g(x)高，则A=∞；若f(x)的次数比g(x)低，则A=0；若f(x)的次数与g(x)相同，则A的值为分子分母最高次项的系数的比。
2、重要极限：lim sinx/x =1 （x->0）
--------------------------------------------------------------------------
第一题：（选B）
A选项1-x²->∞，所以sin(1-x²)是有界数，x/(1-x²)是无穷小量（分子比分母次数少），所以有界数×无穷小量还是无穷小量。
B选项可以变形为 x · sin[x/(1-x²)]/[x/(1-x²)],其中t=x/(1-x²)是无穷小量，所以sint/t是重要极限，趋于1，于是B选项等价于x · 1=x，是无穷大量

C选项可以变形为 1/x · sin[1/(1-x²)]/[1/(1-x²)],其中t=1/(1-x²)是无穷小量，所以sint/t是重要极限，趋于1，于是C选项等价于1/x · 1=1/x，是无穷小量

D选项(1-x²)/x->∞，所以sin[(1-x²)/x]是有界数，1/(1-x²)是无穷小量（分子比分母次数少），所以有界数×无穷小量还是无穷小量。

第二题：

通分，原式=lim (x²+1-ax²-ax)/(x+1)-b

由于原式极限为0，等价lim (x²+1-ax²-a)/(x+1)=b，为一常数，于故分子分母的最高次数必须相等。所以1-a=0，即a=1。
此时lim (x²+1-ax²-a)/(x+1)=lim (1-x)/(x+1)=-1，即b=-1

第三题：

原式=lim (x²+ax+b)/(x²-1) · (x²-1)/sin(x²-1) =lim (x²+ax+b)/(x²-1) lim(x²-1)/sin(x²-1)
根据重要极限，x->1时，x²-1->0，所以lim(x²-1)/sin(x²-1) =1

所以lim (x²+ax+b)/(x²-1)=3。注意到x-1->0，所以x²+ax+b必然含有因式x-1（否则分母趋近于0，整个极限趋近无穷），于是待定x²+ax+b=(x-1)(x+c)，故有

lim (cx+d)/(x+1)=3 （x->1）解得1+c=6，c=5
所以x²+ax+b=(x-1)(x+5)=x²+4x-5，所以a=4，b=-5
第四题：

lim xsin[2x/(x²+1)]=lim (2x²)/(x²+1) · sin[2x/(x²+1)]/[2x/(x²+1)]
x->∞时，t=2x/(x²+1)->0，于是由重要极限sint/t=1，原式=lim (2x²)/(x²+1)=2

追问

谢谢

问一下我这个写得对吗

追答

对哒