Question

如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，AF平分∠EAD交CD于点F，求证:AE=BE+DF

Answer 1

证明：延长EB到G，使BG=DF，连结AG，
因为 ABCD是正方形，
所以 AB=AD，角ABG=角ADF=直角，AB//DC，
所以 三角形ABG全等于三角形ADF，
所以 角AGB=角AFD，角GAB=角FAD，
因为 AF平分角EAD，
所以 角FAD=角FAE
所以 角GAB=角FAE
所以 角GAE=角BAF，
因为 AD//DC，
所以 角BAF=角AFD，
所以 角AGB=角GAE，
所以 AE=GE
=BG+BE
=BE+DF。

Answer 2

证明:延长CB到M,使BM=DF,则ME=BE+BM=BE+DF.
连接AM.AB=AD,BM=DF,∠ABM=∠D,则:⊿ABM≌ΔADF(SAS).
故:∠MAB=∠FAD;又AF平分∠EAD,则:∠MAB=∠EAF;
则∠M=∠AFD=∠BAF=∠BAE+∠EAF=∠BAE+∠MAB=∠MAE,得AE=ME.
所以,AE=ME=BE+DF.

Answer 3

在AE上截取EH=BE,连接BH并延长，分别交AE,AF,AD于H,G,M点
因△HEB为等腰三角形，所以，∠HBE=∠BHE
而∠BHE=∠AHM
又BC∥AD，∠HBE=∠AMB
∠AMB=∠AHM，所以三角形MAH为等腰三角形，AH=AM,
由已知知，AF平分∠EAD，
故，AG⊥AF,，∠D=90°（正方形的一个角），所以，D,M,G ，F四点共圆，∠AFD=∠BMA
又因为AB=AD，所以RT△BAM≌RT△FDA，DF=AM=AH
所以AE=AH+HE=DF+BE

Answer 4

xz