Question

已知函数f（x）对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＞0时，f（x）＞1.

（1）求证：函数f（x）在R上是增函数；
（2）求证：函数F（x）=f（x）-1是奇函数；
（3）若关于x的不等式f（x2-ax+5a）＜2的解集为{x|-3＜x＜2}，求f（2009）的值。
请帮我写下详细过程，谢谢！

Answer 1

你题目中的“F（x）”是什么？

已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1，且当x＞0时，f(x)＞1．
(1)求证：函数f(x)在R上是增函数；
(2)若关于x的不等式f(x²-ax+5a)＜2的解集为{x|-3＜x＜2}，求f(2009)的值；
(3)在(2)的条件下，设an=|f（n）-14|（n∈N*），若数列{an}从第k项开始的连续20项之和等于102，求k的值．

分析：(1)欲证明函数f(x)在R上是增函数，设x1＞x2证明f(x1)＞f(x2)，即可．
(2)先将不等式f(x²-ax+5a)＜2转化为f(x²-ax+5a)＜f(b)，利用函数的单调性脱掉“f”，转化成整式不等式，再结合方程根的定义求解出a，b，最后利用等差数列求出f(2009)的值即可；
(3)设从第k项开始的连续20项之和为Tk，则Tk=(ak)+(ak+1)+…+(ak+19)．下面对k进行分类讨论，列出关于k的方程，解之即得k值．

解：(1)证明：设x1＞x2，则x1-x2＞0，从而f(x1-x2)＞1，即f(x1-x2) -1＞0．
f(x1)=f【x2+(x1-x2)】=f(x2)+f(x1-x2) -1＞f(x2)，
故f(x)在R上是增函数．
(2)设2=f(b)，于是不等式为f(x²-ax+5a)＜f(b)．
则x²-ax+5a＜b，即x²-ax+5a-b＜0．
∵不等式f(x²-ax+5a)＜2的解集为{x|-3＜x＜2}，
∴方程x²-ax+5a-b=0的两根为-3和2，
由韦达定理，得-3+2=a，且-3×2=5a-b
解得a=-1，b=1
∴f(1)=2．
在已知等式中令x=n，y=1，得f（n+1）-f（n）=1．
所以｛f(n)｝是首项为2，公差为1的等差数列．
f(n)=2+(n-1)×1=n+1，故f(2009)=2010．

Answer 2

（1）令x=y=o得f（0）=1
令y=-x得f(x)+f(-x)=2
因为当x＞0时，f（x）＞1=f(0)所以函数f（x）在x＞0上是增函数；