Question

逻辑函数的几种常用表示形式的转换方法

Answer 1

逻辑函数表达式的转换
将一个任意逻辑函数表达式转换成标准表达式有两种常用方法，一种是代数转换法，另一种是真值表转换法。
一、代数转换法

所谓代数转换法，就是利用逻辑代数的公理、定理和规则进行逻辑变换，将函数表达式从一种形式变换为另一种形式。

1.求一个函数的标准“与-或”表达式

第一步：将函数表达式变换成一般“与-或”表达式。

第二步：反复使用X=X(Y+Y)将表达式中所有非最小项的“与项”扩展成最小项。
例如，将如下逻辑函数表达式转换成标准“与-或”表达式。
解
第一步：将函数表达式变换成“与-或”表达式。

　
=(A+B)(B+C)+AB
　
=A·B+A·C+B·C+A·B
第二步：把所得“与-或”式中的“与项”扩展成最小项。具体地说，若某“与项”缺少函数变量Y，则用(Y+Y)和这一项相与，并把它拆开成两项。即
F(A,B,C)
=A·B(C+C)+AC(B+B)+(A+A)BC+AB(C+C)
　
=A·B·C+A·B·C+A·B·C+A·B·C+A·B·C+A·B·C+A·B·C+A·B·C
　
=A·B·C+A·B·C+A·B·C+A·B·C+A·B·C
该标准“与-或”式的简写形式为
F(A,B,C)
=m0+m1+m3+m6+m7
　
=∑m(0,1,3,6,7)
当给出函数表达式已经是“与-或”表达式时，可直接进行第二步。

2.求一个函数标准“或-与”表达式

第一步：将函数表达式转换成一般“或-与”表达式。

第二步：反复利用定理A=(A+B)(A+B)把表达式中所有非最大项的“或项”扩展成最大项。
例如，
将如下逻辑函数表达式变换成标准“或-与”表达式。

解
第一步：将函数表达式变换成“或-与”表达式。即
=(A+B)(A+C)+BC
=[(A+B)(A+C)+B]·[(A+B)(A+C)+C]
=(A+B+B)(A+C+B)(A+B+C)(A+C+C)
=(A+B)(A+B+C)(A+B+C)
第二步：将所得“或-与”表达中的非最大项扩展成最大项。

F(A,B,C)
=(A+B)(A+B+C)(A+B+C)
=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)
=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)
该标准“或-与”表达式的简写形式为
F(A,B,C)=M3M6M7=∏M(3,6,7)
当给出函数已经是“或-与”表达式时，可直接进行第二步。
二.真值表转换法
一个逻辑函数的真值表与它的最小项表达式具有一一对应的关系。假定在函数F的真值表中有k组变量取值使F的值为1，其他变量取值下F的值为0，那么，函数F的最小项表达式由这k组变量取值对应的k个最小项相或组成。因此，可以通过函数的真值表写出最小项表达式。
1.求函数的标准“与-或”式
具体：真值表上使函数值为1的变量取值组合对应的最小项相“或”即可构成一个函数的标准“与-或”式。
例如，
将函数表达式
F(A,B,C)=AB+BC
变换成最小项表达式。
解:
首先，列出F的真值表如表2.6所示，然后，根据真值表直接写出F的最小项表达式
F(A,B,C)=∑m(2,4,5,6)
2.求函数的标准“或-与”式
一个逻辑函数的真值表与它的最大项表达式之间同样具有一一对应的关系。假定在函数F的真值表中有k组变量取值使F的值为0，其他变量取值下F的值为1，那么，函数F的最大项表达式由这k组变量取值对应的k个最大项“相与”组成。因此，可以根据真值表直接写出函数最大项表达式。
具体：真值表上使函数值为0的变量取值组合对应的最大项相“与”即可构成一个函数的标准“或-与”式。
例如，
将函数表达式F(A,B,C)=A·C+A·B·C表示成最大项表达式的形式。
解：首先，列出F的真值表如表2.7所示。然后，根据真值表直接写出F的最大项表达式
F(A,B,C)=∏M(0,2,5,6,7)
由于函数的真值表与函数的两种标准表达式之间存在一一对应的关系，而任何个逻辑函数的真值表是唯一的，所以，任何一个逻辑函数的两种标准形式是唯一的。这给我们分析和研究逻辑函数带来了很大的方便。
希望能够帮到您，谢谢！