Question

线性代数几个小问题

1.记P=（α1，α2，α3），由α1，α2，α3线性无关，知矩阵P可逆。为什么他们线性无关P就可逆啊~~~是不是因为不成比例，所以r=3，|P|不为0，所以可逆啊？？？
2.A=【1 4
2 3】，答案说由于|A|小于0，所以A和对角矩阵相似，这是为什么啊。。？
3.设A是n阶实对称矩阵，AB+BTA是正定矩阵，证明A可逆。
有一步，对于任意x不等于0，恒有Ax不等于0，即齐次方程组Ax=0只有零解，从而A可逆。这一步不是很看得明白。。。

谢谢！！！！

Answer 1

1. α1，α2，α3 线性无关, 所以 r(α1，α2，α3) = 3
所以 r(P) = 3. 故P可逆.

2. 2阶行列式 |A|<0. 由于A的行列式等于其所有特征值之积
所以说A的两个特征值的符号不同
即A有两个不同的特征值
故A可对角化.

3. Ax=0 只有零解 <=> r(A) = n
由于 对于任意x不等于0，恒有Ax不等于0,
即说明 如果AX=0,则有x=0
所以 r(A)=n. 故A可逆