Question

定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x^2

1求证：2是函数f（x）上的一个周期
2：求f（x）在区间[2k-1,2k+1],k∈Z上的函数解析式

Answer 1

(1) 因f(x+1)=-f(x)
用x+1代上式中的x得
f(x+2)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x)
即f(x+2)=f(x)所以2是f(x)的周期
(2)设x∈[2k-1,2k+1] 则x-2k∈[-1,1]
f(x-2k)=(x-2k)²
则于2是周期，所以2k，k∈Z也是周期
故有f(x-2k)=f(x)
所以f(x)=(x-2k)²，x∈[2k-1,2k+1]
好象偶函数这个条件没什么用，你检查一下题目！