Question

微分方程y'cosx+ysinx=1的通解

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

通解为y=sinx+Ccosx，将方程变形为标准形式套公式即可。
y'+P(x)y=Q(x)对应公式是y=e^(-∫P(x)dx)[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]
补充：标准形式为y'+ytanx=secx，则P=tanx，Q=secx，所以有：
∫P(x)dx=-ln|cosx|；
e^(-∫P(x)dx)=cosx；
e^(∫P(x)dx)=secx；
∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx=∫(secx)^2dx=tanx；
所以通解为：y=cosx(tanx+C)=sinx+Ccosx

Answer 3

解：∵y’+ysinx=0
==>dy/y=-sinxdx
==>ln│y│=cosx+ln│c│
(c是积分常数)
==>y=ce^(cosx)
∴根据常数变易法，设原方程的解为y=c(x)e^(cosx)
(c(x)表示关于x的函数)
∵y'=c'(x)e^(cosx)-ysinx，
代入原方程得c'(x)e^(cosx)-ysinx+ysinx=cosx
==>c'(x)=cosx*e^(-cosx)
==>c(x)=∫<0,x>cost*e^(-cost)dt+c
(c是积分常数)
∴原方程的通解是y=[∫<0,x>cost*e^(-cost)dt+c]e^(cosx)
∵y(0)=0
∴c=0
故满矗常避端篆得遍全拨户足条件y(0)=0的特解是y=[∫<0,x>cost*e^(-cost)dt]e^(cosx)。