Question

已知tanα和tan（π/4 –α）是方程x2+px+q=0的两个根，则p、q满足的关系式：

A:p-q+1=0
B:p-q-1=0
C:p=q
D:p+q=0
请给予详细的过程。
谢谢！

Answer 1

由和角公式
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
得
tan[α+(π/4-α)]=[tanα+tan(π/4-α)]/[1-tanα·tan(π/4-α)]
∴[tanα+tan(π/4-α)]/[1-tanα·tan(π/4-α)]=1
tanα+tan(π/4-α)=1-tanα·tan(π/4-α)
tanα+tan(π/4-α)+tanα·tan(π/4-α)-1=0.....(*)

又tanα和tan(π/4 -α)是方程x²+px+q=0的两个根
由韦达定理（根与系数的关系）知
tanα+tan(π/4-α)=-p
tanα·tan(π/4-α)=q
代入(*)得
-p+q-1=0
∴p-q+1=0
选A

Answer 2

由韦达定理知
tanα+tan(π/4-α)=-p,tanαtan(π/4-α)=q
p=-(tan²α+1)/(tanα+1) q=(tanα-tan²α)/(tanα+1)
p-q=-1
p-q+1=0