Question

1/(x²+1)²的原函数是多少?怎么求的?

Answer 1

对于An=∫ dt/[(t²+a²)^n],有下列递推公式(分子凑个(1/a²)(t²+a²-t²)),然后拆开,用分部积分法)
An=t/{2a²(n-1)[(t²+a²)^(n-1)]}+[(2n-3)A(n-1)]/[2a²(n-1)].A(n-1)表示第n-1项
A1=(1/a)arctan (t/a)+C
所以
A2=(1/2a²)[t/(t²+a²)]+(1/2a³)arctan(t/a)+C
从而∫1/(x²+1)²dx=(1/2)[x/(x²+1)]+(1/2)arctanx+C