Question

已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合

已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图（1）放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G、∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=4．
（1）求证：△EGB是等腰三角形；
（2）若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小
30
度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图（2））．求此梯形的高．

Answer 1

证明：因为、∠C=∠EFB=∠90°，∠E=30°
所以∠EBF=60°
又∠E=∠ABC=30°
所以∠E=∠GBE=30°
即：△EGB是等腰三角形
解：令CB交ED于点M 则：在△FDM中FM=根号3
因为△ABC、△DEF全等
且：AB=DE=4
BF=DF=2
所以：CM=3*根号3-2
因为∠MFD =30° ∠MDF=60° 所以∠CMD=90°
又因为∠ACB=90°
所以CM为四边形ACDE成为以ED为底的梯形的高，此梯形的高为CM=3*根号3-2

追问

为什么FM=根号3？

Answer 2

1）证明：∵∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，
∴∠EBF=60°，
∴∠EBG=∠EBF-∠ABC=60°-30°=∠E．
∴GE=GB，
则△EGB是等腰三角形；

Answer 3

有直角三角形三十度角定理，DF=2，所以DM=1，勾股定理FM=根号三

Answer 4

因为DF=2，BD=1，两条直角边的平方和等于斜边的平方，BD平方+FM平方=DF平方，所以FM=根号3