Question

请问这道概率题

一民航送客车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X表示停车的次数, 求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立.

解法是 Xi={ 0 或 1} 等于0时第i 站没人下；等于1 时第i 站有人下

每一位旅客在某个车站下车的概率是0.1，不下车的概率是0.9；
20位旅客在某个车站都不下车的概率是(0.9)^20,
则在某个车站汽车停车的概率是 P(Xi=1) = 1-(0.9)^20,
EX=E(X1+X2+.....+X10)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+...+E(X10)=10*[1-(0.9)^20]≈8.8

我对解法有些疑惑。比如说到第三站时已经下了5人，此时车上还剩15人了，那么从第四站及以后的站 有人下车的概率依然是P(Xi=1) = 1-(0.9)^20 ？？？依然是20次幂？？怎么解释呢？
如果题设情景、意思不变，将数目改小一些：车上载有3位旅客，在2个车站下车。以X表示停车的次数, 求E(X)
解： （方法一） 笨方法计算 P(X=0) = 1/64 ; P(X=1) = 33/64 ; P(X=2) = 30/64 ;
E(X) = 33/64 + 60/64 = 93/64 = 1.453125

(方法二) 模仿原题： P(Xi=1) = 1-(1/2)^3 = 7/8
E(X)= 2*(7/8)= 14/8 = 1.75

哪里错了？？

Answer 1

二楼的解释中，关于条件概率部分没什么问题，但说到各个车站地位等同，这个可能就不是那么容易理解了，我想提问者对于原题的疑问也就在这里，也就是说，前面车站下车的情形对后面车站有人下车的概率没有影响吗？从直观上理解，当然是有影响的，比如说第一站20人全下车了，那么后面的概率当然都是0了。
这里要注意的是，有影响归有影响，但是我们考虑的是一个整体概率。要透彻地解释这个问题，会涉及到一些大学里的知识，比如说条件概率和全概率。我不知道你是具体是什么水平，这里就讲得简单一点吧。
这个问题的本质是“抽签与顺序无关”，比如说100个人抽100张签，其中10张签有奖，那么先抽的人跟后抽的人获奖概率是一样的，都是1/10，而并不是像你直观上觉得的那样先抽的人比后抽的人有优势。为什么呢？如果你没有学过条件概率的话，那我们只好考虑一个最简单的情形，两人抽签，其中一张有奖。显然第一个人抽中的概率是1/2，那么第二个人抽中的概率当然也是1/2，所以你看，先抽的人并没有优势。
同样道理，前面的车站和后面的车站相比也没有“优势”，有人下车的概率都是一样的。
不知道这样讲你能否理解，若有不懂，欢迎继续追问。最好注明你已经学过哪些知识，尤其是关于条件概率和全概率部分。

Answer 2

你问的问题和对立事件没有关系。而是把条件概率和非条件概率你混淆了。（第三站有人下车和第四站有人下车并非对立事件）。
在前三站已经下了5人的情况下（设这个概率是pr(5)），第四站有人下车的概率是pl(5)=1-(0.9)^15，这是一个条件概率，但这个值不是P(Xi=1) 。还要考虑前三站有k人下车（设概率为pr(k)）的情况，k=0, 1, ... , 19，第四站有人下车的概率（设概率为pl(k)），P(Xi=1)=∑pr(k)*pl(k)。这样算就非常复杂。因为pr(k)很麻烦，如果算到地9个站时，已经非常冗长了。所以还一种思路。由于各个站的地位等同（这是一个前提），所以在各个站都有旅客下车的概率相同，所以只须计算第一个站有人下车的概率即可，故P(Xi=1) = 1-(0.9)^20。

顺带纠正一下：第三站时已经下了5人的情况下，第四站及以后的站 有人下车的概率依然是1（因为所有人都会下车在终点站或之前的车站下车）

P(X=0) = 1/64不对。因为旅客总是要下车的。
P(X=1)=(1/2)^3*C(2,1)=1/4，
其它的类似。

追问

请问在"问题补充里"(缩小版的问题)的方法二算法有问题吗?

追答

第二种方法结果无误，但是2*7/8=7/4，一般不用写成14/8。
按照第一种方法，P(X=2)=(1/2)^3*C(3,1)*2=3/4，
E(X)=1*1/4+2*3/4=7/4。
两种方法结果一致。

对每个旅客而言，各个车站的地位是等同的，那么，对所有旅客而言，各个车站的地位也是等同的。在不能区分各个事件的概率差异的情况下，认为其发生概率相同（古典概率的基本假设）。（这里所说的不能区分，不是指某种具体方法不能区分，而是指所有方法都不能区分，以避免出现方法A不能区分，方法B又能区分的情况）

追问

可能是我对题意的理解有偏差：即终点站停车不算在里头。但如果按照我的理解改一下这道题，这10站（或者缩小版的2站）只是中途站，X表示在中途站停车的次数，求期望，原题的方法还适用吗？我这个分布律 P(X=0) = 1/64 ; P(X=1) = 33/64 ; P(X=2) = 30/64 ;应该没问题了吧？

追答

还是不行。你计算的方法不对。如果2个车站只是中间站，不论终点站下车的概率是否和其它车站一样，都不能这样算。

Answer 3

P(Xi=1) = 1-(0.9)^20这是从对立事件出发考虑的,因为 P(Xi=1)表示在某个车站汽车停车的概率,即使第三站已经下了5人,但第四站不下人的概率依然是(0.9)^20,那它的对立事件在第四站下人的概率就应该是1-(0.9)^20. 不知这样解释是否清楚