Question

已知﹛an﹜的前n项和为Sn，若a1=1，Sn=nan-n(n-1),令bn=1/an*an+1，且数列的前项和为Tn

1.求证：数列﹛an﹜为等差数列，并写出﹛an﹜关于n的表达式；
2.若不等式λTn＜(n+8)/5（n为常数）对任意正整数n均成立，求λ的取值范围；
3.是否存在正整数m,n(1＜m＜n)，使得T1,Tm,Tn成等比数列？若存在，求出所有的m,n的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

1.Sn=nan-n(n-1).................1
所以S(n+1)=(n+1)a(n+1)-n(n+1)................2
2式减1式：a(n+1)=(n+1)a(n+1)-nan-2n
所以na(n+1)-nan=2n即a(n+1)-an=2
所以an=2n-1

2.bn=1/[(2n-1)(2n+1)]
Tn=1/(1*3)+1/(3*5)+......+1/[(2n-1)(2n+1)]
=1/2(1-1/3+1/3-1/5+........+1/(2n-1)-1/(2n+1))
=(1/2)*2n/(2n+1)
=n/(2n+1)
即λn/(2n+1)<(n+8)/5
即5λn<2n^2+17n+8
即5λ<2n+17+8/n恒成立
又2n+17+8/n>=8+17=25
所以5λ<25 λ<5

3.T1=1/3
Tm=m/(2m+1) Tn=n/(2n+1)
假设存在m,n则满足方程：
m^2/(4m^2+4m+1)=n/(6n+3)解得
n=3m^2/(-2m^2+4m+1)
因为n>0所以右边分母大于0
所以m=1,2
又m>1所以m=2
此时n=12
所以m=2,n=12