Question

矩阵A相似于矩阵B的充分条件、必要条件，充要条件都有哪些？

Answer 1

答：1、相似的定义为：对n阶方阵A、B，若存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称A、B相似。2、从定义出发，最简单的充要条件即是：对于给定的A、B，能够找到这样的一个P，使得：P^(-1)AP=B；或者：能够找到一个矩阵C，使得A和B均相似于C。3、进一步地，如果A、B均可相似对角化，则他们相似的充要条件为：A、B具有相同的特征值。4、再进一步，如果A、B均为实对称矩阵，则它们必可相似对角化，可以直接计算特征值加以判断（与3情况不同的是：3情况必须首先判断A、B可否相似对角化）。5、以上为线性代数涉及到的知识，而如果你也学过矩阵论，那么A、B相似的等价条件还有：设：A、B均为n阶方阵，则以下命题等价：(1)A~B;(2)λE-A≌λE-B(3)λE-A与λE-B有相同的各阶行列式因子(4)λE-A与λE-B有相同的各阶不变因子(5)λE-A与λE-B有相同的初等因子组

答：判断两个矩阵是否相似的辅助方法：（1）判断特征值是否相等；（2）判断行列式是否相等；（3）判断迹是否相等；（4）判断秩是否相等。以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件，而非充分条件。（两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。）秩相等，特征值一致，是矩阵相似的必要条件而不是充分条件。如果两个矩阵特征值相同，并且可对角化(比如有n个不同的特征值)，则它们相似。另外, 如果学过λ-矩阵的内容, 那么两个矩阵相似的充分必要条件是它们的初等因子(或不变因子)相同。

问：要不我自己写一下几个结论吧，您看看对不对，好吗？

答：一般会考试必要条件和充要条件

问：您看我写的这几个结论对吗

答：不好意思同学，手机没电了，刚回来充电

答：我先看一下

答：好久不用这些知识了，目测没有问题。

问：第九个应该是得有个前提条件A,B可逆反应才行吧，还有其他您再仔细帮我看看吧

答：对的，都没问题的。

问：那我再问个问题伴随矩阵A*的原矩阵A一定可逆吗？

答：伴随矩阵可逆，选矩阵可逆。

答：伴随矩阵可逆,原矩阵一定可逆；原矩阵可逆,伴随矩阵也一定可逆.