Question

已知，如图,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。求证：AD垂直平分EF

Answer 1

解：因为AD是△ABC的角平分线
所以<BAD=<DAC
又因为DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F
所以<AED=<DFA
又AD共线 故 三角型ADE全等于三角型AFD
故AE=AF
又因为 AG相等(G为AD与EF交点）
<AED=<DFA
故三角型AEG全等于三角型AGF
又应为G在EF线上，<AED=<DFA
故AD平分EF
又因为AE=AF
故AD垂直平分EF

Answer 2

∵AD是∠BAC的平分线
∴∠EAD＝∠FAD
又∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED＝∠AFD＝90°
边AD公共
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）
∴AE＝AF
即△AEF为等腰三角形
而AD是等腰三角形AEF顶角的平分线
∴AD⊥底边EF
（等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）

• 与楼上两个答案哪个对？

Answer 3

解：AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE=DF，所以角DEF=角DFE
又因为角DEA=角DFA=90度，所以角AEF=AFE
可得AD是等腰△AEF的的角平分线，所以AD垂直平分EF