Question

已知a,b,c,d∈R＋,且abcd=1,求证:1/a+1/b+1/c+1/d+9/(a+b+c+d)≥25/4

详细解答

Answer 1

设1/a＋1/b＋1/c＋1/d＋9/（a＋b＋c＋d）＝k，则两边同乘以（a＋b＋c＋d），得：
k（a＋b＋c＋d）
＝1＋b/a/＋c/a＋d/a＋a/b＋1＋c/b＋d/b＋a/c＋b/c＋1＋d/c＋a/d＋b/d＋c/d＋1＋9
＝13＋（b/a＋a/b）＋（c/a＋a/c）＋（d/a＋a/d）＋（c/b＋b/c）＋（d/b＋b/d）＋（c/d＋d/c）
∴当 b/a＝a/b、c/a＝a/c、d/a＝a/d、c/b＝b/c、c/d＝d/c 时，k（a＋b＋c＋d）有最小值。
且最小值为：13＋2＋2＋2＋2＋2＋2＝25。

当 b/a＝a/b、c/a＝a/c、d/a＝a/d、c/b＝b/c、c/d＝d/c 时，容易得到：a＝b＝c＝d。
又abcd＝1，∴此时a＝b＝c＝d＝1，得：a＋b＋c＋d＝4。

∴k（a＋b＋c＋d）≧25，　∴4k≧25，　∴k≧25/4。　
即：1/a＋1/b＋1/c＋1/d＋9/（a＋b＋c＋d）≧25/4。

Answer 2

很简单啊，首先设1/a＋1/b＋1/c＋1/d＋9/（a＋b＋c＋d）＝k，则两边同乘以（a＋b＋c＋d），得：
k（a＋b＋c＋d）
＝1＋b/a/＋c/a＋d/a＋a/b＋1＋c/b＋d/b＋a/c＋b/c＋1＋d/c＋a/d＋b/d＋c/d＋1＋9
＝13＋（b/a＋a/b）＋（c/a＋a/c）＋（d/a＋a/d）＋（c/b＋b/c）＋（d/b＋b/d）＋（c/d＋d/c）
∴当 b/a＝a/b、c/a＝a/c、d/a＝a/d、c/b＝b/c、c/d＝d/c 时，k（a＋b＋c＋d）有最小值。
且最小值为：13＋2＋2＋2＋2＋2＋2＝25。

当 b/a＝a/b、c/a＝a/c、d/a＝a/d、c/b＝b/c、c/d＝d/c 时，容易得到：a＝b＝c＝d。
又abcd＝1，∴此时a＝b＝c＝d＝1，得：a＋b＋c＋d＝4。

∴k（a＋b＋c＋d）≧25，　∴4k≧25，　∴k≧25/4。　
即：1/a＋1/b＋1/c＋1/d＋9/（a＋b＋c＋d）≧25/4。

数学世家为你解答

追问

∴当 b/a＝a/b、c/a＝a/c、d/a＝a/d、c/b＝b/c、c/d＝d/c 时，k（a＋b＋c＋d）有最小值。
如何证明？

追答

不需要证明啊，这个式子就是最小值的公式

追问

但a+b+c+d≥4 ，如何保证k≥25/4 分母越大分数越小

追答

.

Answer 3

设a = 2011^x，b = 2011^(-x)，c = 2011^y，d = 2011^(-y)
u = 2011^x + 2011^(-x) >=2
v = 2011^y + 2011^(-y) >=2
所以u+v >=4
那么1/a+1/b+1/c+1/d+9/(a+b+c+d) = u+v + 9/(u+v)
函数f(x) = x+9/x在x>=4的时候单调增，所以u+v + 9/(u+v) >= 4 + 9/4 = 25/4

追问

ab没说等于1

追答

恩，我也知道这个证明有缺陷的，但是还没找到更好的方法。

Answer 4

我想追问，当解到k（a b c d）≥25这一步时，由均值不等式易得，a b c d≥4,所以 把（a b c d）除过去不应该得k＜=25/4 吗？？