已知过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A,B两点，若向量AF=2向量FB，求离心率
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设点A(X1,Y1) B(X2,Y2)
向量AF=2向量FB
∴Y1 = 2 ( - Y2) 且 A B F共线
右焦点 F（c,0）
所以 y = x - c
x^2/a^2+y^2/b^2=1 联立
( a^2 + b^2) y^2 + 2 c b^2 y + b^2 (c^2 - a^2) = 0
Y1+Y2 = - 2 c b^2 /( a^2 + b^2)
Y1*Y2 = b^2 (c^2 - a^2) / ( a^2 + b^2)
且Y1 = 2 ( - Y2)
消去 Y1 Y2
整理可得
9 b^2 c^2 = a^4 + (b^2 - c^2) a^2
因为椭圆 a^2 = b^2 + c^2
所以，得 2 b^2 = 7 c^2
离心率： c/a = 根号（c^2/(b ^2 + c^2)）= 2/9
向量AF=2向量FB
∴Y1 = 2 ( - Y2) 且 A B F共线
右焦点 F（c,0）
所以 y = x - c
x^2/a^2+y^2/b^2=1 联立
( a^2 + b^2) y^2 + 2 c b^2 y + b^2 (c^2 - a^2) = 0
Y1+Y2 = - 2 c b^2 /( a^2 + b^2)
Y1*Y2 = b^2 (c^2 - a^2) / ( a^2 + b^2)
且Y1 = 2 ( - Y2)
消去 Y1 Y2
整理可得
9 b^2 c^2 = a^4 + (b^2 - c^2) a^2
因为椭圆 a^2 = b^2 + c^2
所以，得 2 b^2 = 7 c^2
离心率： c/a = 根号（c^2/(b ^2 + c^2)）= 2/9
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