Question

在圆（x-4)^2+(y-3)^2=25中，有一点P（2，1），过点P作弦AC⊥BD，求四边形ACBD面积的最大ŀ

Answer 1

Answer 2

圆（x-4)^2+(y-3)^2=25的圆心Q为(4,3),半径r=5，
设AC:y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0,
Q到AC的距离d=|2k-2|/√(k^2+1),
弦AC=2√(r^2-d^2)=2√[25-(2k-2)^2/(k^2+1)]
=2√[(21k^2+8k+21)/(k^2+1)],
以-1/k代k,得弦BD=2√[(21-8k+21k^2)/(1+k^2)]
弦AC⊥BD，

所以四边形ABCD的面积S=(1/2)AC*BD
=2√[(21k^2+21)^2-64k^2]/(k^2+1),
设t=k^2+1≥1,则
S=2√[(21t)^2-64(t-1)]/t,
=2√(441-64/t+64/t^2)
=2√[(8/t-4)^2+425],
当t=2时S取最小值10√17，当t=1时(这时AC:y=1,BD:x=2),S取最大值42。