Question

设0<c<1,a1=c/2,a(n+1)=c/2+an²/2,证明数列an收敛,并求其极限

Answer 1

先由归纳法知，c/2
≤
an
<
c
，因此数列有界，
其次，由
a(n+1)-a(n)
=
1/2
*
[a(n)^2
-
a(n-1)^2]
及
a2>a1，
由归纳法可知数列递增，
因此数列必有极限，设极限为
a，两边取极限得
a
=
c/2
+
a^2/2，
解得
a=1-√(1-c)
（舍去
1+√(1-c)
）。