Question

已知tan （α－β）＝1/2，tan β＝－1/7，α，β∈（0，π）求2α－β的ŀ

Answer 1

tan
（α－β）＝1/2
由公式知：tan
（α－β）＝(tan
α+tan
β)/(1-tan
α
tan
β)=1/2
,而tan
β＝－1/7
解得：tan
α=1/3
tan
β＝－1/7
<0,且α，β∈（0，π）所以，α∈（0，1/2π）
β∈（1/2π，π）
α－β∈（-π，0）又因为tan
（α－β）＝1/2>0,所以，α－β∈（-π，-1/2π）
所以，2α－β∈（-π，0）
tan(2α－β)=tan[(α－β)
+α]=(tan
(α－β)+tan
β)/[1-tan(α－β)
tan
β]=(1/3+1/2)/(1-1/6)=1
所以，2α－β=-3/4π

Answer 2

tan β＝－1/7>-1，
tan （α－β）＝(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)=(tanα+1/7)/(1-tanα/7)
=(7tanα+1)/(7-tanα)=1/2,
14tanα+2=7-tanα,15tanα=5,tanα=1/3
α，β∈（0，π）,
所以β∈(3π/4，π),α∈（0，π/4）,
进一步，2α∈(0,π/2),
2α-β∈（-π,-π/4），
tan2(α-β)=2tan(α-β）/[1-tan^(α-β)]
=1/(1-1/4)=4/3,
tan(2α-β)=[tan2(α-β)+tanβ]/[1-tan2(α-β)*tanβ]
=(4/3-1/7)/(1+4/21)
=(28-3)/(21+4)
=1,
所以2α-β=-3π/4.