Question

一条简单数学题！！！50分！！！若答得好还会加分！！！快！！！

某同学在电脑中打出如下排列的若干个圆：
●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○
若将上面一组圆依此规律复制得到一系列圆，那么前2009个圆中，有（ ）个空心圆。 写出原因！！！

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Answer 1

看黑圆的规律可以知道，第一组有一个黑圆和一个白园，第二组有2个黑圆和一个白圆
一次类推，第n组就有n个黑圆和一个白园
所以是个数列题目
黑圆的前n组和为Sn=（1+2+。。。。。n）=（1+n）n/2
白圆的前n组和是n
所有的圆的总和就是Tn=（1+n）n/2+n
当n=62时
也就是第62组时，前面的圆数是2015个，大于2009
所以2009个圆没到第62组的白圆
前2009个圆中，有61个空心圆
所以如有不明白，可以追问！！
谢谢采纳！

追问

还是没懂！

追答

首先把圆进行分组
第一组●○1个黑圆+1个白园
第二组●●○2个黑圆+1个白园
第三组●●●○3个黑圆+1个白园
第四组●●●●○4个黑圆+1个白园
第五组●●●●●○5个黑圆+1个白园
第六组●●●●●●○ 6个黑圆+1个白园
。。。。
所以第n组就是n个黑圆+1个白圆
然后在计算圆的总数量，
黑圆的总数是一个等差数列，所以黑圆的总和就是Sn=（1+2+。。。。。n）=（1+n）n/2
白圆的总数就是n
所以白圆加黑圆的总数就是Tn=（1+n）n/2+n

然后看第2009这个圆在什么地方
当n=62的时候，也就是第62组的时候，前面有2015个圆
所以第2009个圆在第62组，但不是白圆
所以前面就有61组、也就是61个白圆
所以如有不明白，可以追问！！
谢谢采纳！

追问

黑圆的总和为什么是Sn=（1+2+。。。。。n）=（1+n）n/2

追答

等差数列
从1+2+3+。。。。。100的总和是（1+100）*100/2=5050（数字1是第一项，数字100是最后一项，乘以100是项数）（等差数列求和公式）
所以从1+2+3。。。。。+n的总和就是（1+n）*n/2
所以如有不明白，可以追问！！
谢谢采纳

Answer 2

●○
●●○
●●●○
●●●●○
●●●●●○
●●●●●●○
1＋2＋3＋…＋n=(1/2)n(n＋1)=2009 【黑圆数量】
则：n=62，即有62个空心圆。

追问

还是没懂！

追答

看圆的数量：
第一行有2个
第二行有3个
……
则前n行的黑圆数量共有：2＋3＋4＋…＋(n＋1)=(1/2)(n＋1)(n＋2)－1=2009
即：(n＋1)(n＋2)=2020
计算：n=61时，(n＋1)(n＋2)=3906，n=62时，(n＋1)(n＋2)=4323
则有61个白圆。

Answer 3

61
其实就是2+3+4+。。。+n接近2009
n（n+2）/2接近2009
n=62是
总共为1952个圆
n=63时总共有2015个圆
2009,2015
所以n=62
这样空心圆为61

Answer 4

前面补个空心圆
（1+n)n/2>=2009
n(n+1)>=4018
n>=20
20-1-1=18
有（18 ）个空心圆

Answer 5

把实心圆和空心圆看做是一组
那么这个序列就相当于2+3+4+5+6 。。。。
设第2009所在的那一组圆数目是N
那么（2+n）* n/2 =2009
n应该是个整数
但这个式子解得n=根号下4019 —1
说明第2009个圆不是空心圆 也就是最后一组到2009时这一组没完事
离解得的这个n值最近的整数是62
也就是在2009之前完整的组数是62个
每组都有一个空心圆
说有在2009之前一共有62个空心圆

Answer 6

黑色的规律：1+2+...+n=1/2*n(n+1)
白色的有n个
二者相加：s=1/2*n(n+1)+n=1/2*(n^2+3n)=1/2*n(n+3)
凑数字，n=61时，s=1952，n=62时，s=2015
但是第62个不会出现白圈，因为白色的在黑的后面。
所以白色的有61个