Question

求S=1/(1*3)+1/(2*4)+1/(3*5)+…+1/n(n+2)

要过程哦。谢谢各位。
最后到底是多少啊。相消以后到底剩下什么啊？

Answer 1

S=1/(1*3)+1/(2*4)+1/(3*5)+…+1/n(n+2)
=1/2*[1/1-1/3]+1/2*(1/2-1/4)+...+1/2(1/n-1/n+2)
可以看出，这个题目的奇数项不能与偶数项相抵消，因此，最后的结果要分情况
因此，必须讨论，如果n为偶数
S=1/(1*3)+1/(2*4)+1/(3*5)+…+1/n(n+2)
=1/(1*3)+1/(3*5)+...+1/[(n-1)(n+1)]+1/(2*4)+1/(4*6)+...+1/n(n+2)
=1/2[1-1/3+1/3-1/5+...+1/(n-1)-1/(n+1)]+1/2[1/2-1/4+1/4-1/6+...+1/n-1/(n-2)]
=1/2[1-1/(n+1)+1/2-1/(n-2)]
再通分吧
如果n为奇数
S=1/(1*3)+1/(2*4)+1/(3*5)+…+1/n(n+2)
=1/(1*3)+1/(3*5)+...+1/[n(n+2)]+1/(2*4)+1/(4*6)+...+1/(n-1)(n+1)
=1/2[1-1/3+1/3-1/5+...+1/n-1/(n-2)]+1/2[1/2-1/4+1/4-1/6+...+1/(n-1)-1/(n+1)]
=1/2[1-1/(n-2)+1/2-1/(n+1)]
可见不论n的奇偶，最后结果均一样。

Answer 2

1/n(n+2)=0.5{(1/n)-(1/n+2)}，照这样写出几项，就发现中间的抵消了，结果就出来了…

追问

最后到底是多少啊。相消以后到底剩下什么啊？

Answer 3

1/n(n+2)=1/2*[1/n-1/(n+2)]
S=1/(1*3)+1/(2*4)+1/(3*5)+…+1/n(n+2)
=1/2*[1/1-1/3]+1/2*(1/2-1/4)+...+1/2(1/n-1/n+2)
=1/2*(1/1+1/2+...+1/n-1/3-1/4-...-1/n+1-1/n+2)
=1/2*(1+1/2-1/n+1-1/n+2)

追问

最后到底是多少啊。相消以后到底剩下什么啊？

追答

消不掉。除非你带值进去算

追问

我不是说消掉啊。
=1/2*(1/1+1/2+...+1/n-1/3-1/4-...-1/n+1-1/n+2)
这步怎么来的？
前面明明是1/2(1/n-1/n+2)
怎么现在变成1/n+1-1/n+2？

追答

因为带正号的分数的分母范围为1，n
而带符号的分数的分母范围为3，n+2
也就是分母为1,2,(n+1),(n+2)的消不掉

所以就成那样了

Answer 4

都是裂项相消 乘以1/2 很容易的 自己做吧

追问

我觉得不容易啊。
方法我会的，就是不知道消到最后还剩什么。
麻烦你解一下吧。O(∩_∩)O谢谢。

追答

就是前面项的 被减项都会被后面第二个的 第一项 约去 所以 剩下1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)
在乘以0.5

Answer 5

=1/2(1-1/3)+1/2(1/2-1/4)+1/2(1/3-1/5)+...+1/2(1/n-1/(n+2))
=1/2(1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+...+1/n-1/(n+2)
想相互抵消合并得：
=1/2(1+1/2+1/(n-1)+1/n)

追问

最后到底是多少啊。相消以后到底剩下什么啊？

Answer 6

可以看出1/n(n+2)=1/2*(1/n-1/(n+2))
因此S=1/2*[1/1-1/3+1/2-1/4+...+1/n-1/(n-2)]=1/2*[1+1/2-1/(n-1)-1/(n-2)]=1/2*[3/2-(2n-3)/(n-1)(n-2)]=.....
没有笔和纸，剩下的化下简就行了

追问

最后到底是多少啊。相消以后到底剩下什么啊？