Question

求(x+y+z)^2的三重积分

Answer 1

问：求(x+y+z)^2的三重积分

答：求(x+y+z)^2的三重积分(x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz，由于积分区域关于xoy面、xoz面对称，而2xy、2xz、2yz关于y或z为奇函数，因此它们的积分为0，因此被积函数只剩下x²+y²+z²再由轮换对称性，本题积分区域改为：x²+y²+z²≤4，x²+y²+(z-2)²≤4，积分结果不变。x²+y²+(z-2)²=4可化为：x²+y²+z²=2z，球坐标方程为r²=2rcosφ，即r=2cosφ∫∫∫ (x²+y²+z²) dxdydz球坐标=∫∫∫ r²*r²*sinφ drdφdθ=∫[0→2π]dθ∫[0→π/2]dφ∫[2cosφ→2] r²*r²*sinφ dr=(2π/5)∫[0→π/2] r^5sinφ |[2cosφ→2] dφ=(64π/5)∫[0→π/2] (1-(cosφ)^5)sinφdφ=-(64π/5)∫[0→π/2] (1-(cosφ)^5)d(cosφ)=(64π/5)(1/6)(cosφ)^6-(64π/5)(cosφ) |[0→π/2]=(64π/5)-(64π/5)(1/6)=(64π/5)(5/6)=32π/3

问：x绝对值小于等于1

问：y绝对值小于等于2

问：z绝对值小于等于3

问：在这个区域求

问：谢谢

答：知道了

答：首先，我们可以看到被积函数是一个三次多项式，即 (x + y + z)²，因此我们可以用直接计算积分的方法来求解。对于 x 的积分区间，根据 |x| ≤ 1 可知积分区间为 [-1, 1]，同理可得 y 的积分区间为 [-2, 2]，z 的积分区间为 [-3, 3]。因此，原式可以表示为：∭_(-3)^(3)∭_(-2)^(2)∭_(-1)^(1)▒(x+y+z)^2 dxdydz接下来，我们可以将 (x + y + z)² 展开，即：(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz然后，我们可以将原式分为六个部分，每个部分分别对应上面展开式中的六个多项式：∭_(-3)^(3)∭_(-2)^(2)∭_(-1)^(1)▒x² dxdydz+ ∭_(-3)^(3)∭_(-2)^(2)∭_(-1)^(1)▒y² dxdydz+ ∭_(-3)^(3)∭_(-2)^(2)∭_(-1)^(1)▒z² dxdydz+ 2∭_(-3)^(3)∭_(-2)^(2)∭_(-1)^(1)▒xy dxdydz+ 2∭_(-3)^(3)∭_(-2)^(2)∭_(-1)^(1)▒xz dxdydz+ 2∭_(-3)^(3)∭_(-2)^(2)∭_(-1)^(1)▒yz dxdydz由于上述每个部分都是一个二次多项式在给定积分区间上的积分，因此可以使用积分公式进行计算。具体来说，对于一个形如 ∫_a^b x² dx 的积分，其计算结果为 (1/3)x³|_a^b，因此我们可以得到：∭_(-3)^(3)∭_(-2)^(2)∭_(-1)^(1)▒x² dxdydz = (1/3)×(2×2×2)×[(1)³ − (−1)³] = 32/3∭_(-3)^(3)∭_(-2)^(2)∭_(-1)^(1)▒y² dxdydz = (1/3)×(2×2×2)×[(2)³ − (−2)³] = 128/3∭_(-3)^(3)∭_(-2)^(2)∭_(-1)^(1)▒z² dxdydz = (1/3)×(2×2×6)×[(3)³ − (0)³] = 216

答：所以，这个三重积分的值是32/3 + 128/3 + 216 = 808/3，即268.67。