Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中 AB^上一点，延长DA至点E，使CE=CD． （1）求证：AE=BD；

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中 AB^上一点，延长DA至点E，使CE=CD．
（1）求证：AE=BD；
（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD= 2CD．

Answer 1

(1)证明:AC=BC,则∠CAB=∠CBA;CE=CD,则∠CED=∠CDE.
又∠CDE=∠CBA,故∠ACB=∠ECD,得∠DCB=∠ECA;
所以,⊿DCB≌ΔECA(SAS),得AE=BD.
(2)题目中的结论有误,现改为:AD+BD=√2CD.
证明;作CF垂直CD,交DA的延长线于F.
∠CDA=∠CBA=45°,则CF=CD;且∠CDA=∠F=45度,得CF=CD;
∠DCF=∠ACB=90°,则∠DCB=∠ACF;又AC=BC.故⊿DCB≌ΔFCA(SAS),得AF=BD.
所以,AD+BD=AD+AF=√(CF^2+CD^2)=√2CD.

Answer 2

（1）证明：
∵CA=CB
∴∠CAB=∠B
∵CE=CD
∴∠E=∠CDE
∵∠CDE=∠B
∴∠EAD=∠ACB
∴∠EAC=∠BCD
∵CE=CD，CA=CB
∴△CEA≌△CDB
∴AE=BD
（2））∵AC⊥BC， ∠ECD=∠ACB AE=BD（上问已证）
又∵EC=CD ∴ED=EA+AD=√2CD=AD+DB
∴ √2CD=AD+DB