Question

求值域：y=(sinx+1)/(cosx-2)

Answer 1

可以用数形结合计算
注意到点(sinx,cosx)在圆C：x^2+y^2=1上
那么y表示的是圆C上一点P和点(-1,2)连线的斜率
画图后可以得到
y的值域为[-4/3,0]

Answer 2

∵sinx的最小值为－1，∴sinx＋1≧0，又∵cosx的最大值为1，∴cosx－2＜0，
∴y≦0。

又y＝（sinx＋1）/（cosx－2）
＝－［cos（x/2）＋sin（x/2）］^2/｛［cos（x/2）］^2＋3［sin（x/2）］^2｝
＝－［1＋tan（x/2）］^2/｛1＋3［tan（x/2）］^2｝。

令tan（x/2）＝k，得：y＝－（1＋k）^2/（1＋3k^2），∴y＋3yk^2＝－（1＋2k＋k^2），
∴（3y＋1）k^2＋2k＋1＋y＝0。
显然，k是实数，∴需要4－4（3y＋1）（1＋y）≧0，∴1－（3y^2＋4y＋1）≧0，
∴－y（3y＋4）≧0，∴3y＋4≧0，∴y≧－4/3。

于是：－4/3≦y≦0。即原函数的值域是［－4/3，0］。