Question

幂级数∑(n+2) x^(n+3)的和函数为什么？

Answer 1

幂级数∑(n+2)x^(n+3)的和函数为(2x^3-x^4)/(1-x)^2。

解：因为∑(n+2)x^(n+3)=(x^2)*∑(n+2)x^(n+1)，

令f(x)=∑(n+2)x^(n+1)，

那么∫(0,x)f(x)dx=∫∑(n+2)x^(n+1)dx=∑x^(n+2)，

而∑x^(n+2)=(x^2)*∑x^n=(x^2)/(1-x)，

即∫(0,x)f(x)dx=(x^2)/(1-x)，

那么f(x)=((x^2)/(1-x))'=(2x-x^2)/(1-x)^2，

那么∑(n+2)x^(n+3)=x^2*f(x)=(2x^3-x^4)/(1-x)^2。

即幂级数∑(n+2)x^(n+3)的和函数为(2x^3-x^4)/(1-x)^2。

扩展资料：

1、幂级数一般计算公式

（1）1/(1-x)=∑x^n=1+x+x^2+x^3+......+x^n+......，

（2）1/(1+x)=∑(-1)^n*x^n=1-x+x^2-x^3+......+(-1)^n*x^n+......，

（3）ln(1+x)=∑((-1)^n*x^(n+1))/(n+1)=x-x^2/2+x^3/3-......+((-1)^n*x^(n+1))/(n+1)+......

2、幂级数的和函数的性质

（1）幂级数∑an*x^n的和函数s（x）在其收敛域I上连续。

（2）幂级数∑an*x^n的和函数s（x）在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式。

（3）幂级数∑an*x^n的和函数s（x）在其收敛区间（-R，R）内可导，并有逐项求导公式。

参考资料来源：百度百科-幂级数

Answer 2

题目若是 S(x) = ∑<n=0, ∞>(n+2)x^(n+3)
则 S(x) = x^2∑<n=0, ∞>(n+2)x^(n+1) = x^2[∑<n=0, ∞>x^(n+2)]'
= x^2[x^2/(1-x)]' (-1 < x < 1)
S(x) = x^2[-x-1 + 1/(1-x)]' = x^2[-1 + 1/(1-x)^2] = x^3(2-x)/(1-x)^2, (-1 < x < 1).
题目若是 S(x) = ∑<n=1, ∞>(n+2)x^(n+3)
则 S(x) = ∑<n=0, ∞>(n+1)x^(n+2) = x^2∑<n=0, ∞>(n+1)x^n
= x^2[∑<n=0, ∞>x^(n+1)]' = x^2[x/(1-x)]' (-1 < x < 1)
S(x) = x^2[-1 + 1/(1-x)]' = x^2[1/(1-x)^2] = x^2/(1-x)^2, (-1 < x < 1)

Answer 3

∑(n+2) x^(n+3)
=x^4∑nx^(n-1) + 2x^3∑x^n
=x^4d(∑∫nx^(n-1)dx)/dx +2x^3/(1-x)
=x^4 d∑x^n/dx +2x^3/(1-x)
=x^4 d(1/1-x)/dx+2x^3/(1-x)
=x^4/(1-x)^2 +2x^3/(1-x)