Question

求几道高数题细解

1, f(x)=x(x+1)(x+2)...(x+100) 则 f`(0) = ?

2, 求 arcsin0.5002 sin30°30′ 的近似值

3,求极限 lim x->0+ x^(-tanx)

第二题是用微分近似来计算的 但度数 和 数值的转化 不怎么熟悉

希望3题能给出详细步骤 谢谢

Answer 1

1, f(x)=x(x+1)(x+2)...(x+100) 则 f`(0) =
f'(x)=(x+1)(x+2)...(x+100) +x(x+2)...(x+100)+x(x+1)...(x+100)+……+x(x+1)(x+2)...(x+99)
其中除第一个没有x项外，其他都存在x项，所以0代入时都是0，所以f`(0) =100！
2, 求 arcsin0.5002 sin30°30′ 的近似值
arcsin0.5002 =arcsin（0.5+0.0002 )将0.0002看成增量，这样我们就有，
arcsin0.5002 =派/6+2/根号3*0.0002
sin30°30′ =sin(派/6+派/360)=1/2+根号3*派/720

3,求极限 lim x->0+ x^(-tanx) =1

追问

第三题 x趋于0+ -tanx趋于0- 那么不是相当于 1/(x^0) 吗

追答

第三个你先把式子取对数，这样可以把问题化为先求-tanx*lnx的极限，再转化为无穷比无穷型，再用罗必塔法则求极限

追问

化到后面变成 e^( (sin方x) / x) 里面的 sin方x / x 还是0比0形式 如果继续用落必达 变成 2cosx
结果变成 e^2 如果用等价无穷小 x趋于0 sinx ~ x ,那么sin方x / x 就变成 x 结果就是 e^0 =1

是不是我算错了?
过程:
- ( Inx / (1/tanx)) 用落必达之后变成 tan方x / (sec方x)*x 化简 sin方x/x

追答

- ( Inx / (1/tanx)) 用落必达之后变成 sin方x/x趋向于0啊，所以原来的式子的极限就是1了啊

Answer 2

1.f'(0)=100!
2.度数转化1°=π/180
1'=1/60°
3.=1