Question

设A，B是有限集合，且|A|=|B|，又f:A->B是一个映射，证明：f是单射<=>f是满射

设A，B是有限集合，且|A|=|B|，又f:A->B是一个映射，证明：f是单射<=>f是满射。
>>求详细的证明
嗯嗯

Answer 1

设|A|=|B|=n, A={a(1), a(2), ..., a(n)}, B={b(1),b(2),...,b(n)}.=> 若f是单射，则f(a(1)), f(a(2)), ..., f(a(n))这n个元素互不相等，且都属于B，所以B中每个元素都有原像，即f是满射。

让我们对于数n用归纳法证明：A不可能一一映象在它自己的真子集合B上，对于n=1，这是显然的，因为而且只包含一个元素，B=0是它唯一的一个真子集合，所以A不对等于B。

假设定理对于自然数n已被证明了，我们要证明定理对于n+1也是正确的，因此，设，而且f是A 在B上的一个一一映象，用与A的元素对应的那些自然数给A的元素编号，我们将得到。

定理1：

(有限集合的基本定理)有限集合不能与它的任何真子集合或真母集合对等。

证明： （文中所有定理的详细证明请参考文后书籍）定理中两个论断(与子集合和母集合的不对等)的每一个论断，都可以容易地从另一个论断推出，因为，如果A～B而且，那么从A和B两集合之一的有限性，像上面已经指出的那样，即可推出另一集合也是有限的。

因此，例如．让我们来证明：有限集合小能与它的真子集合对等，对于空集A=0，定理是成立的，因为空集合绝不会有真子集合，设A≠0，于是，按照有限集合的定义，集合A便对等于自然数串的一个(至少对等于一个)线段。

Answer 2

设|A|=|B|=n, A={a(1), a(2), ..., a(n)}, B={b(1),b(2),...,b(n)}.
=> 若f是单射，则f(a(1)), f(a(2)), ..., f(a(n))这n个元素互不相等，且都属于B，所以B中每个元素都有原像，即f是满射。
<=若f是满射，则|f(A)|=|B|=n。假设f不是单射，则f(a(1)), f(a(2)), ..., f(a(n))至少有两个相同元素，即|f(A)|<n，矛盾！所以f是单射。

Answer 3

设|A|=|B|=n, A={a(1), a(2), ..., a(n)}, B={b(1),b(2),...,b(n)}.
=> 若f是单射，则f(a(1)), f(a(2)), ..., f(a(n))这n个元素互不相等，且都属于B，所以B中每个元素都有原像，即f是满射。

Answer 4

f

Answer 5

用反证法