Question

已知a:b=c:d,求证:ab+cd为a²+c²及b²+d²的比例中项。

Answer 1

解答：由a／b=c／d，∴①d=bc／a，将①代入﹙ab＋cd﹚²=﹙ab＋cbc／a﹚²=b²﹙a²＋c²﹚²／a²，将①代入﹙a²＋c²﹚﹙b²＋d²﹚=﹙a²＋c²﹚[﹙b²＋bc／a﹚]=b²﹙a²＋c²﹚／a²，∴﹙ab＋cd﹚²=﹙a²＋c²﹚﹙b²＋d²﹚，∴ab＋cd是a²＋c与²b²＋d²的比例中项。

Answer 2

a:b=c:d，所以ad=bc，（ab+cd）²=a²b²+2abcd+c²d²=a²b²+c²d²+2b²c²，(a²+c²)(b²+d²)=a²b²+a²d²+b²c²+c²d²=a²b²+c²d²+2b²c²，所以（ab+cd）²=(a²+c²)(b²+d²)，即ab+cd为a²+c²及b²+d²的比例中项。

追问

为什么a²b²+2abcd+c²d²=a²b²+c²d²+2b²c²

追答

ad=bc,所以abcd=adbc=bcbc