Question

高二数学 复数

关于x的方程x^2-(tanw+i)x-(2+i)=0 w∈R
1求证 对任何实数w 原方程不可能有纯虚数解
2若此方程有一虚根为2+i 求另一根及此时w锐角值

Answer 1

(1)设方程有纯虚数解x=bi (b≠0)
(bi)²-(tanw+i)(bi)-(2+i)=0
-b²-(btanw)i-bi²-2-i=0
(-b²+b-2)-(btanw +1)i=0
-b²+b-2=0且btanw +1=0
其中-b²+b-2=0即b²-b+2=0
由于Δ=1-8<0方程无解
所以原方程不可能有纯虚数解
(2)二次方程的虚根是成对出现的，且是互为共轭复数
所以另一根一定是2+i的共轭复数，即2-i
(2+i)²-(tanw+i)(2+i)-(2+i)=0
除以2+i得2+i-tanw-i-1=0
tanw=1
所以锐角w=45°