Question

已知函数f﹙x﹚＝﹙a＋1﹚lnx＋ax²＋1,讨论函数f﹙x﹚的单调性

Answer 1

f'(x)=(a+1)/x+2ax
令f'(x)=0
(a+1)/x+2ax=0
2ax^2=-(a+1)
x^2=-(a+1)/2a
于是有 -(a+1)/2a>0
当a<0时，-a-1<0 a>-1
那么 -1<a<0
当a>0时，-a-1>0 a<-1 .不成立
从而，当 -1<a<0时。
x=±√-(a+1)/2a
因为f(x)的定义域是(0,∞)
则，x=√-(a+1)/2a 是f(x)的极值点
f''(x)=-(a+1)/x^2+2a
f''(√-(2a+1)/2a)=-(a+1)/[-(a+1)/2a]+2a=2a+2a=4a<0
因此 x=√-(2a+1)/2a是f(x)的极大值点
在 （0，√-(a+1)/2a）内，
f(x)单调递增。
在(√-(2a+1)/2a, ∞)内，f(x)递减

Answer 2

首先x>0, f﹙x﹚的导数＝﹙a＋1﹚/x＋2ax=(a+1+2ax²)/x
若 a=0 则f﹙x﹚＝﹙a＋1﹚lnx＋ax²＋1=lnx+1 为增函数
若a>0 则f﹙x﹚＝﹙a＋1﹚lnx＋ax²＋1 显然为增函数
若 a<=-1 则(a+1+2ax²)/x>=0 则f﹙x﹚＝﹙a＋1﹚lnx＋ax²＋1 为增函数
-1<a<0 时 x>根号下-（a+1）/2a (a+1+2ax²)/x>0 为增函数
x<根号下-（a+1）/2a (a+1+2ax²)/x<0 为 减函数

Answer 3

事先声明x的取值范围为大于0；
f'(x)=(a+1)/x+2ax
令f'(x)=0
(a+1)/x+2ax=0
2ax^2=-(a+1)
x^2=-(a+1)/2a
于是有 -(a+1)/2a>0
即2a*（a+1）《0，可得-1《x《0；
f'(x)=0的两根为
√-(a+1)/2a 和- √-(a+1)/2a；只要分析
2ax^2=-(a+1)》0和小于0的条件，
即可得当x属于0到√-(a+1)/2a 时，f﹙x﹚单调递增，在√-(a+1)/2a到正无穷时单调递减。既得结果。

Answer 4

乱码了