Question

如图，在三角形ABC中，∠A=60°，以BC为直径的半圆O分别交于AB,AC于点E,D。若BC=2，求DE的长

Answer 1

解：
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝60°
∴∠B＋∠C＝120°
∵∠B＝1/2弧CED，∠C＝1/2弧BDE
∴弧CED＋弧BDE＝2(∠B＋∠C)＝240°
又∵弧CED＋弧BDE＝(弧CE＋弧DE)＋(弧BD＋弧DE)＝(弧CE＋弧DE＋弧BD)＋弧DE＝弧BDEC＋弧DE，半圆弧BDEC＝180°
∴弧DE＝240°－180°＝60°
∴∠DOE＝弧DE＝60°
又∵OD＝OE
∴△DOE为等边三角形
∴DE＝OD
∵BC为直径
∴DE＝OD＝1/2BC
∵∠BDE＝1/2弧BCE，∠C＝1/2弧BDE，弧BCE＋弧BDE＝圆周＝360°
∴∠BDE＋∠C＝180°
∵∠BDE＋∠ADE＝180°
∴∠ADE＝∠C
又∵∠A＝∠A
∴△ADE∽△ACB
∴AD:AC＝AE:AB＝DE:BC＝1:2
∵S△ADE＝1/2AD·AE·sinA，S△ABC＝1/2AB·AC·sinA
∴S△ADE:S△ABC＝(AD:AC)·(AE:AB)＝1:4

Answer 2

因为B、D、E、C在同一圆上，所以OD=OE=1/2BC=1
∠BDC与∠BEC是所对应边为直径的圆周角，所以∠BDC=∠BEC=∠CDA=∠BEA=90°
∵，∠A=60°∠A+∠ACD=90°
∴∠ACD=30°
因为圆周角为圆心角的一半，所以∠DOE=2∠ACD=60°
三角形ODE中，∠DOE=60°，OD=OE，它是一个正三角形，
则DE=1

Answer 3

先证明三角形OEC与三角形BCA相似
证据是OC/BA=1/2，三角形AOC是等腰三角形，OE垂直AC，E点是AC的中心点，CE/AC也等于1/2，角BAC与角OCE相等（等腰三角形）。
证明相似后就好计算了
先求出圆的半径或直径，劣弧对应的圆心角已知，直接就可以算出劣弧长度

Answer 4

经过修改了的答案！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！ 因为B、D、E、C在同一圆上，所以OD=OE=1/2BC=1
∠BDC与∠BEC是所对应边为直径的圆周角，所以∠BDC=∠BEC=∠CDA=∠BEA=90°
∵，∠A=60°∠A+∠ACE=90°
∴∠ACE=30°
因为圆周角为圆心角的一半，所以∠DOE=2∠ACE=60°
三角形ODE中，∠DOE=60°，OD=OE，它是一个正三角形，
则DE=1