Question

如图，C为线段AB上的任意一点，分别以AC、BC为边在AB同侧做等边△ACD和等边△BCE，连接AE、BD，交点为O

求证：OC平分角AOB

Answer 1

因为AC=CD CE=CB ∠ACE=∠DCB=120°
所以△ACE全等于△DCB （SAS）
所以∠CDB=∠EAC
过C做CM垂直AE , CN垂直DB 垂足分别为M,N
因为∠CND=∠CMA=90°
所以△CND全等于△CMA (AAS)
所以CM=CN
因为OC=OC
所以△OCM全等于△OCN (HL)
所以∠MOC=∠OOC
所以OC平分角AOB

Answer 2

证明：∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
又∵CA=CD，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
∴∠CAE=∠CDB，
又∵∠AGC=∠DGO，
∴△AGC∽△DGO．
∴GA：GD=GC：GO．
又∵∠DGA=∠OGC，
∴△AGD∽△CGO，
∴∠ADC=∠AOC．
同理∠BEC=∠BOC．
∵CA=CD，CB=CE，
∴∠ADC= 1/2（180°-∠ACD），
∠BEC= 1/2（180°-∠BCE）．
∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∴∠AOC=∠BOC．
==================================
方法2： 证明：∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
又∵CA=CD，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
∴AC=BD,S⊿ACE=S⊿DCB
∴点C到AC,BD的距离相等（即两个三角形的高相等）
∴点C在∠AOB的平分线上
即：OC平分∠AOB

Answer 3

555