Question

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120度，将△ABC绕点B顺时针旋转α （0∠α120度）得△A1,B1,C1A1B交AC于点E,

A1C分别交AC, BC于D,F两点.问观察并猜想,在旋转过程中,线段BA与FC有怎样的数量关系?

Answer 1

在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1,A1B交AC于点E,A1C1分别交AC、BC于D、F两点。
（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC又怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，当α=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由
（3）在（2）的情况下，求ED的长

1）EA1=FC
因为AB=BC,∠ABC=120°，所以∠A=∠C=∠A1=∠C1=30°；又∠ABA1=∠CBC1=α
，所以△ABE全等于△C1BF，所以BE=BF，所以EA1=FC。
（2）菱形
∠A=∠C1=30°，∠ABC1=∠ABC=120°+α=150°，所以∠ABC1+∠C1=180°，所以AB平行于DC1，同理BC1平行于AD，所以BC1DA为平行四边形。又因为AB=BC=BC1，所以BC1DA为平行四边形为菱形。
（3）由（2）易证△ABE相似于△A1ED。A1D/AB=DE/AE。
△ABC中，AB=BC,∠ABC=120°，所以∠A=∠C=∠A1=∠C1=30°，过B作AC的垂线，根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理易得AC=A1C1=2倍根号3。A1D=2倍根号3-2，AE=2-DE，，AB=2，代入等式A1D/AB=DE/AE，可算出DE=（6-2倍根号3）/3
[、菱形的邻边相等，,在△ABD中AB=AD=2，∠BAD=∠ABE=30°， 所以AE=AB/√3=2/√3=2√3/3，那么ED=2-2√3/3=（6-2√3）/3]第三问另一种

Answer 2

EA1=FC，EA1<BA1=BA，故BA>FC
因为AB=BC,∠ABC=120°，所以∠A=∠C=∠A1=∠C1=30°；又∠ABA1=∠CBC1=α
，AB=BC1，所以△ABE全等于△C1BF，所以BE=BF，所以EA1=FC。
又因为EA1<BA1=BA，故BA>FC