Question

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1，已知随机变量x的概率分布如下
x -1 0 1 2 3
p 0.2 0.1 0.1 0.15 0.25
求（1）Y=3x+2的概率分布 （2）Y=x^2+1的概率分布

2，某学生在体育训练弄伤了膝关节，医生给开了一些消炎药，并叮嘱每天早晚八点各服用一片药片，现知该药片每片200毫克，他的肾脏每十二小时从体内滤出这种药的百分之六十，并且如果这种药在体内的残留量超过386毫克，就将产生副作用，请问：（1）该同学上午八点第一次服药，问第二天早间服完药时，药在他体内还残留多少？（2）该同学若长期服用该药不会会产生副作用？

3，有三种产品，合格率分别是0.9，0.95，0.95，各取一件进行检验。
（1），求恰有一件不合格的概率。（2），求至少有两件不合格的概率。

4，如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC垂直平面ABC，且AP垂直PC，BC垂直AC
（1）求证：面PAB垂直面PBC
（2）若∠PAC=45°，∠BAC=30°，求PB与AC所成角的正切值。

Answer 1

1,(1)把X对应的Y算出来，Y=-1，2，5，8，11 ，Y的概率分布就是
x -1 2 5 8 11
p 0.2 0.1 0.1 0.15 0.25
（2）同理,Y=2，1，2，5，10，有两个2.把他们对应x的概率相加得0.2+0.1=0.3,所以分布是
x 1 2 5 10
p 0.1 0.3 0.15 0.25
2,(1)到晚上吃完后，滤出200*60%=120,体内还有200+200-120=280，(第二次服完)
第二天早上吃完，滤出280*60%=168，体内还有280+200-168=312(第三次服完)
(2)每次刚服完体内量=前一次刚服完体内量*40%+200，简单点就是，
第一次刚服完剩P1=200，
第二次服完剩P2=200+0.4*200=200(1+0.4)
第三次P3=200+0.4(200+0.4*200)=200(1+0.4+0.4²)
第x次Px=200+0.4(x-1次刚完的剩量)=200(1+0.4+0.4²+......0.4^(x-1)]=200[1-0.4^(x-1)]/(1-0.4)
当x无穷大时，Px=200/0.6=1000/3<386，又Px是递增的，∴体内量永远小于333克.无副作用。
3，设三件产品为a,b,c.则合格率Pa=0.9,Pb=0.95.Pc=0.95，不合格率Ma=0.1,Mb=0.05,Mc=0.05
(1)恰有一个不合格就是：比如a不合格bc就要合格,这时P=Ma*Pb*Pc
因此有三种情况，把这三种情况的概率加起来就可以了，
P=0.1*0.95*0.95+0.9*0.05*0.95+0.9*0.95*0.05=0.176
(2)有四种情况，要么两件不合格一件合格(这样的有三种),要么三件都不合格(这样的有一种)
比如ab不合格c合格,P=Ma*Mb*Pc。把以上四种情况加起来就好了.
P=0.1*0.05*0.95+0.1*0.05*0.95+0.05*0.05*0.9+0.1*0.05*0.05=0.012
4，(1)∵面ABC⊥面APC,BC⊥AC ∴BC⊥AP，又AP⊥PC,∴AP⊥面BCP，∴面PAB⊥面PBC.
(2)取PC，BC，AP中点D，E，F，作FH⊥AC于H，连EH，
设AP=12(随便设)，则AC=12√2，BC=4√6，AB=8√6，在Rt△APB中，得PB=4√15
FH=AH=AC/4=3√2，HC=3AC/4=9√2，CE=BC/2=2√6,在Rt△HCE中,得HE=√186，
在Rt△FHE中，得FE=√204，又DE=PB/2=2√15，DF=AC/2=6√2
在△DEF中用余弦定理得cos∠FDE=-3/√30，tg∠FDE=-√21/3，设AC与PB成角为θ,
∵DE//PC,DF//AC, 而∠FDE>90°∴∠FDE为θ的补角，tgθ=-tg∠FDE=√21/3