Question

若不等式x²+2+｜x³﹣2x｜≥ax对x∈（0，4）恒成立，则实数a的值为

Answer 1

分析：不等式x²+2+|x³-2x|≥ax对x∈（0，4）恒成立，即y=x²+2+|x³-2x|图象总在y=ax图象的上方，故可作出y=x²+2+|x³-2x|图象，利用图象来进行比较

解：不等式x²+2+|x³-2x|≥ax对x∈（0，4）恒成立，即对x∈（0，4）总有y=x²+2+|x³-2x|图象总在y=ax图象的上方
从图象上看函数y=x²+2+|x³-2x|在变化趋势是先增后减再增，其中点M（根号2，4）是一极小值点，在图中作出y=ax图象
由图象可以看出只要y=ax图象在点M不超过点M，则一定可以保证对x∈（0，4）总有y=x²+2+|x³-2x|图象总在y=ax图象的上方，
故直线y=ax的斜率a≤OM斜率k =2倍 根号2
则实数a的取值范围是 (-∞，2倍 根号2]
故答案为 (-∞，2倍 根号2]

Answer 2

a取值范围是（-∞，2倍根号2】
因为x∈（0，4）大于零，不等式两边都除以x化为x+2/x+|x²-2| ≥a
a的值只需小于左边的最小值即可。因为x+2/x的最小值为当且仅当x=2/x时即x=根号2时，为2倍根号2，这时绝对值整好为零，也是最小值，因此整个左边的最小值为2倍根号2，因此a取值为（-∞，2倍根号2】