Question

高等代数的矩阵方程问题

1、对任意矩阵A，求证 XAX=A一定有解
2、如果矩阵方程AY=C和ZB=C有解，求证方程AXB=C一定有解
不好意思，第一题打错了是AXA=A

Answer 1

这两个问题都需要假定矩阵的元素在域上，一般的交换环则不行。

第一问是错的，需要做一些修正。
比如A是mxn的矩阵，XAX存在说明X是nxm的矩阵，此时XAX=A说明A是方阵，这已经不是条件中所说的任意矩阵了。当然，如果把矩阵的数乘看作特殊的乘法那么X=1也算是一个解。
可以修正成以下命题：
A是某个域上的mxn矩阵，那么存在nxm的矩阵X使得XAX=X。
结论甚至可以加强到方程组AXA=A, XAX=X有解。
证明很容易，找A的相抵标准型，即A=PDQ，其中D=diag{I_r,0}，P和Q分别是m阶和n阶可逆方阵，那么X=Q^{-1}D^TP^{-1}满足条件(注意，这个不一定唯一)。
如果是实数域或复数域这样比较特殊的域，甚至还可以要求AX和XA满足额外的条件。

第二问的做法类似，先找A的相抵标准型A=PDQ，那么可以直接验证Y=Q^{-1}D^TP^{-1}C是AY=C的一个解。同理，如果B=USV，那么Z=CV^{-1}S^TU^{-1}是ZB=C的一个解。只要取X=Q^{-1}D^TP^{-1}CV^{-1}S^TU^{-1}就行了，代进去直接验证。

Answer 2

这个在高等数学数的例题里面有的哦！麻烦你查查吧！要勤于思考哦！