Question

高等数学问题，为什么一看此函数就知道要应用罗尔定理？

『如图』此题的答案直接应用的罗尔定理，我想知道是怎么看出来的？

Answer 1

罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续（其中a不等于b）；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0.

首先根据题目要求的结果是f'(x)=0及其零点所在的区间，这与罗尔定理的结论形式上一致
第二题目条件给出了f(x)的四个零点，让人联想到区间端点值相等，这符合罗尔定理的第三个条件
由此想到要应用罗尔定理。

Answer 2

为什么一看此函数就知道要应用罗尔定理？

由于罗尔定理的作用.
罗尔定理说白了
就是在满足罗尔定理的条件下,
可由已知函数的零点值(对应的方程的根),
确定已知函数的一阶导函数的零点值(对应的一阶微分方程的根),
和该零点值或根的分布(范围).
故一看此函数就知道要应用罗尔定理.

要满足罗尔定理的条件是:
(1)已知函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,（其中a不等于b）
(2)在开区间(a,b)内可导,
且(3)在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b)=0.

结论:
则在闭区间[a,b]上,至少存在ξ,
使f'(ξ)=0.

Answer 3

不是看出来的，根的唯一性问题，有介值定理，零点定理，其实都是罗尔定理的演变
积分学中的中值定理，罗尔定理 柯西中值定理 拉格朗日中值定理 泰勒公式 ，这其中只有罗尔定理的定理内容与 函数的导数等于零相挂钩 故而证明导数等于零的一般解答中自然而然的就想到用罗尔定理了。
如果你考研的话，这个题目以后对你是小菜一碟了
如果现在正在学的话，建议扎实学习课本理论基础，不要浮躁与模仿做题

Answer 4

题做多了就知道了。我们已知的定理中，能确定某点导函数为零的主要是罗尔定理。再注意罗尔定理成立的条件：闭区间连续，开区间可导，函数在两个端点的值相等。又初等函数在其定义域内均连续，我们考虑看看函数在哪些点上的函数值相等好了。

Answer 5

想一想，关于f'(x)=0的公式有哪几个？筛选一下，也就只有罗尔定理合适了。再者，明显是用中值定理。