已知四边形ABCD是矩形,PA垂直平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点

求证MN垂直AB若PA=AD求证MN垂直平面PCD... 求证MN垂直AB
若PA=AD求证MN垂直平面PCD
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czh9519
2011-09-13 · TA获得超过1.3万个赞
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证明:1)连结AC、作N在平面ABCD上的射影O,则O是AC的中点,

∵O、M分别是AC、AB中点,∴OM∥BC,

∵DC⊥AB,∴OM⊥AB,

∵OM是斜线NM在平面ABCD上的射影,∴MN⊥AB;

2)连结PM、MC,Rt△MBC中,设MB=a、BC=b,则MC^2=a^2+b^2,

∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,

Rt△PAM中,AM=MB=a,PA=AD=BC=b,则PM^2=a^2+b^2,∴PM=MC,

∵N是PC的中点,∴MN⊥PC,已证MN⊥AB,AB∥DC,∴MN⊥DC,

PC交DC于平面PCD,∴MN⊥平面PC,证毕。

慎烨诺紫薇
2019-12-05 · TA获得超过3781个赞
知道小有建树答主
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1
证:在PD上取中点H,连接NH,HA
HN=1/2CD=1/2AB=AM
HN‖CD‖AB‖AM

四边形AMNH为平行四边形
∴AH‖MN
又∵MN不∈平面PAD,AH∈平面PAD
∴MN‖平面PAD
2
证:△PAD为等腰直角三角形
H为PD中点,易知AH⊥PD
又∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥CD
又∵四边形ABCD是矩形
AD⊥CD
又∵PA∩AD于D
∴CD⊥平面PAD
则AH⊥CD
又∵CD∩PD于D

AH⊥平面PDC
由1可知,MN平行AH
则MN⊥平面PDC
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