Question

急，快来解答啊 如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，小明

如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，小明说:"当AC=BD时，M、E、N、F四点共圆”小王说：“当AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆”你认为小明和小王的说法谁的正确？并说明理由

Answer 1

解答：小王的说法是正确的，原因如下：
依次连接上述4个中点，构成一个4边形。显然，在△ABD中，EM是中位线，因此EM∥BD，且EM=BD/2，同理有EM∥BD∥NF，且EM=NF=BD/2；EN∥AC∥MF，且EN=MF=AC/2。因此，四边形ENFM是一个平行四边形。
在小明的说法中，AC=BD，则根据上述分析可知，平行四边形ENFM四条边相等，是一个棱形。显然，棱形的4个顶点是不一定共圆的。
在小王的说法中，AC⊥BD，则根据上述分析可知，平行四边形ENFM相邻两条边相互垂直，是一个矩形。众所周知，任一矩形的4个顶点一定共圆，因此，小王的说法是对的。
回答完毕。

Answer 2

当AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆，即小王说的正确。
这是因为ME和NF都平行且等于BD的一半，MF和NE平行且等于AC的一半；故当AC=BD，但AC
与BD不垂直时，MENF是菱形，而菱形的四个顶点不可能共圆；当AC⊥BD，且AC≠BD 时，
MENF是矩形，而矩形是四点共圆的；若AC⊥BD且AC=BD，则MENF是正方形，正方形更是四
点共圆。∴AC⊥BD是M，E，N，F四点共圆的充要条件，故小王的说法正确。

Answer 3

小王说的对